476 GUIDO CASTELNUOVO 



da una superficie dell'ottavo ordine di S 6 , che sarà indicata 

 nel seguito con F (2) . 



Una superficie di seconda specie non può avere V ordine 

 superiore ad 8 , né può appartenere ad uno spazio superiore 



ad S R . 



7. Le proprietà principali della F (2) di S 6 seguono subito 

 dalle cose dette. 



La F (2) contiene oc 2 coppie di punti formanti una involu- 

 zione 7, i cui gruppi sono allineati con un punto che non 

 sta sulla superficie (*). La sezione di F {2) con un S 5 qualunque 

 è una curva di ottavo ordine e di genere 3 ; se però lo spazio 

 S. passa per 0, la curva sezione è iperellittica ed è proiettata 

 doppiamente da mediante un cono razionale del quarto ordine. 

 Su F (2) si trova un sistema lineare di oo 2 quartiche sghembe y 1 

 di genere 1 , che sono proiettate doppiamente da G mediante 

 coni quadrici ; due y x si segano in due punti e costituiscono 

 insieme la sezione di F (2) con un S^ bitangente. Le quartiche y. 

 segano sopra ogni sezione C 8 di F (2) la serie speciale # 4 (2) : 

 quindi sopra ogni sezione C 8 di F (2) i gruppi della serie spe- 

 ciale g. (2) stanno su piani. 



Le coppie della involuzione I costituite da punti coincidenti 

 formano una curva K dell'ottavo ordine che è sezione di F (2) 

 con un particolare spazio 5 a cinque dimensioni. Il cono che 

 da proietta una y, sega 0. in una conica, i cui punti sono 

 armonicamente separati da mediante le coppie di punti della 

 y t , perchè in O ò si trovano i quattro punti di contatto delle 

 tangenti a y t condotte per 0. Quindi ogni coppia della involu- 

 zione I è separata armonicamente mediante il punto e lo 

 spazio 5 , ossia 



La superficie F (2 ^ è trasformata in sé stessa da una omo- 

 logia armonica di centro e spazio fondamentale 0_ . 



Le oq 2 rette che da proiettano le coppie di punti coniugati 

 di F (2) costituiscono un cono a tre dimensioni del quarto ordine ; 



(*) Se stesse sulla superficie, la sezione di Ff 1 ) con un S 5 per sarebbe 

 una curva G' 8 di genere 3 che passerebbe per e segherebbe altrove due 

 volte (almeno) le generatrici di un cono col vertice 0, un tal cono avrebbe 

 quindi l'ordine inferiore a 4 e dovrebbe appartenere ad uno spazio inferiore 

 ad 5 5 , il che non ò possibile. 



