478 GUIDO CASTELNUOVO 



In generale (cioè quando Q. è una curva del 4° ordine e 

 genere 3, ossia quando la curva di coincidenza K di F' 2) è una 

 curva irriduttibile di 8° ordine e genere 3 (*)) in F (2) si tro- 

 vano 56 coniche, costituenti 28 coppie di coniche coniugate nel- 

 l'omologia (0, 5 ). 



Uno spazio & passante per una 7. di queste coniche sega 

 ulteriormente F (2) in una curva C x 6 del sesto ordine e genere 1 

 che ha tre punti comuni colla conica (la quale C^ è intersezione 

 di una $ 4 di S r con una quadrica che contenga una conica di ( I> 4 ). 

 Su F ;2) esistono 56 sistemi oo 3 di tali curve C^\ due curve di 

 uno stesso sistema si segano in tre punti. 



Dalla conica 7 la F (2) è proiettata sopra uno spazio a tre 

 dimensioni in una superficie y del terzo ordine; la conica 7' con- 

 iugata di 7., che sta con 7. in un S 3 passante per 0, dà per 

 proiezione un punto o di <p ; e due punti di F (2) coniugati nel- 

 l'omologia armonica, hanno per imagini due punti di cp allineati 

 con o. Ad una sezione C 8 di F (2) (che ha comuni due punti con 

 7 e due con 7'), corrisponde su <p una curva del 6° ordine avente 

 in o un punto doppio, intersezione di y con una quadrica tan- 

 gente a y in o. Le oo 6 curve C s di F t2) sono quindi rap- 

 presentate dalle intersezioni di <p colle oo 6 quadriche tangenti 

 a <p in o. In particolare la curva K di F (2) ha per imagine la 

 intersezione di <p colla prima polare di <p rispetto ad o ; poiché 

 questa curva deve essere (come K) del genere 3, sarà <p una 

 superficie generale del 3° ordine. 



Nella consueta rappresentazione di & sopra un piauo sem- 

 plice 7r, alla intersezione di f con una quadrica tangente a <p 

 in o corrisponde una curva piana del sesto ordine con 7 punti 

 doppi (nei sei punti fondamentali della rappresentazione e nel 

 punto imagine di o) : dunque: 



In generale una superfìcie F (2) può riferirsi univocamente 

 ad un piano semplice, e il sistema rappresentativo si compone 

 delle oo 6 curve del sesto ordine con 7 punti doppi comuni. 



Questi 7 punti, le 21 rette che li congiungono a due a due, 

 le 21 coniche che ne contengono cinque, e le 7 cubiche che pas- 

 sano doppiamente per uno dei 7 punti e semplicemente per gli 



(*) A questo caso generale si riferiscono le proprietà di Fi 1 ) date nel n° 8; 

 mentre quelle dei numeri precedenti valgono per ogni F( 2 ). 



