SUPERFICIE A SEZIONI DI GENERE 3 479 



altri 0, sono le imagini su n delle 56 coniche di F (2 ' (*) Le 

 co 2 cubiche passanti semplicemente per i 7 punti base rappre- 

 sentano le co 2 curve y, . 



Ed ora dalla rappresentazione di F (2) sulla superficie cubica 

 'f, o sul piano semplice n, derivano subito le proprietà della con- 

 figurazione delle coniche e dei sistemi di curve giacenti su F^ 2) . 

 Così si vede che ogni conica di F< 2) sega in due punti la pro- 

 pria coniugata, in un punto 27 delle coniche rimanenti e in 

 nessun punto le 21 coniche a queste coniugate. Su F (2) esistono 

 quaterne di coniche giacenti in spazi S. ; ogni conica appartiene 

 a 45 tali quaterne. 



9. Altre proprietà della F (2) potrebbero facilmente dedursi 

 dalla rappresentazione piana; ma credo inutile di fermarmi più 

 a lungo su questo argomento. Dei vari casi particolari che la 

 F (2) può presentare noterò solo quello che offre maggiore inte- 

 resse; quando il genere della F (2) si abbassa a — 1 , e la su- 

 perficie cessa di esser rappresentabile sul piano semplice, ma può 

 invece riferirsi al cono cubico. 



Per esaminare nel modo più rapido quando ciò avvenga, ram- 

 mento che la F 2) è sempre rappresentabile sul piano doppio 1 

 con una curva limite Q del quarto ordine (per il n° 6) ; quindi 

 il solo caso in cui 1 non può riferirsi ad un piano semplice si 

 presenta quando Lì ha un punto quadruplo, ossia si spezza in 

 quattro rette di un fascio (**). La curva di coincidenza K di F (2) 

 si spezza allora in quattro coniche passanti per uno stesso punto 

 Q ; e la F (2) (per l'ultimo teorema del n.° 7) può considerarsi 

 come intersezione di una quadrica X 2 di S 6 col cono proiettante 

 dal punto una <I>' 1 che appartiene allo spazio 0. polare di 

 rispetto a X 2 , e sega la X 2 nelle quattro coniche nominate. Ogni 

 altra conica, di <I> 4 passante per Q ha comuni quattro punti coin- 

 cidenti in Q con X 2 ; quindi il cono che da proietta quella co- 

 nica sega X 2 lungo due coniche che si toccano in Q. Così si 

 vede che su questa particolare F (2) esistono oo 1 coniche tutte pas- 

 santi per Q e tangenti ivi ad uno stesso piano q. Le coniche sono 



(*) Sulla superficie cubica ? le 56 coniche di F ( 2 ) hanno per imagini il 

 punto o, la sezione col piano tangente in o, le 27 rette di f e le 27 coniche 

 dei piani che da o proiettano le rette. 



(**) NÒTHKB, Memoria citata dei Sitzunysber. di Hrlangen. 



