480 GUIDO CASTELNUOVO 



coniugate a coppie in una involuzione con quattro coincidenze ; 

 il loro sistema è quindi ellittico ; ogni coppia di coniche costituisce 

 una particolare y, . Sulla superficie non giacciono altre coniche. 



Uno spazio a quattro dimensioni di 0. passante per Q seca 

 O 4 in una curva del quarto ordine C 4 che ha in comune colla 

 X 2 quattro punti riuniti in Q; il cono che da proietta C i 

 seca X 2 in una curva di ottavo ordine che ha due punti doppi 

 infinitamente vicini in Q, e costituisce l'intersezione di F (2> con 

 uno spazio (generico) S~ passante per Q. Jl punto Q è adunque 

 un tacnodo (contatto con se stessa) per la F (2) . 



La F^ è proiettata da Q sopra uno spazio S 5 in una rigata 

 ellittica del sesto ordine V 6 con una retta direttrice doppia, traccia 

 del piano tangente q. Alle sezioni C 8 di F (a) corrispondono su 

 r 6 curve dell'ottavo ordine secanti due volte ogni generatrice e 

 non aventi punti comuni colla direttrice doppia. Proiettando la 

 r 6 da una sua generatrice, o la F 2 ^ da una sua conica, sopra 

 un /Sg si ottiene in questo un cono cubico, sul quale le sezioni 

 di F (2) sono rappresentate da co 6 curve del sesto ordine aventi 

 un punto doppio comune ; queste curve sono le intersezioni del 

 cono colle oo° quadriche tangenti al cono in quel punto. Il punto 

 triplo del cono rappresenta il tacnodo, le generatrici sono ima- 

 gini delle oo 1 coniche, le sezioni piane passanti per il punto di 

 contatto sono imagini delle oo 2 quartiche y v Riassumendo: 



La F (l) presenta notevoli particolarità, quando la sua curva 

 di coincidenza K si scinde in quattro coniche passanti per uno 

 stesso punto; allora la F ;2) contiene un sistema oo 1 ellittico di 

 coniche tutte passanti per quel punto, che è un tacnodo per la 

 superficie. In questo caso (soltanto) la F (2) non è razionale; 

 ma può rappresentarsi univocamente sul cono cubico dello spazio 

 ordinario mediante le curve del sesto ordine segate dalle qua- 

 driche che toccano il cono in un punto fisso (*). 



10. Proiettando la F (2) (sia generale, sia particolare) di S 6 

 negli spazi inferiori da uno o più punti scelti in modo che per 



(*) Confrontando questa rappresentazione con quella data per la F(*) ge- 

 nerale, si giunge al seguente teorema, il quale (come si vede facilmente) vale 

 per ogni caso particolare della F>) : ogni F( 2 ) può rappresentarsi sopra una 

 certa superficie del 3° ordine mediante il sistema delle curve segate su questa 

 dalle quadriche che la toccano in un punto fisso. 



