SUPERFICIE A SEZIONI DI GENERE 3 481 



essi passi qualche S 5 secante E 2) in una curva del genere 3, e 

 che la proiezione sia univoca (per il che è necessario e sufficiente 

 che mai due centri di proiezione siano allineati con 0), si ot- 

 ottengono tutte le superficie normali di seconda specie. Se si 

 proietta la F (2) generale, si giunge così ad: 



1) Una F~ di S. con. una retta semplice e oo 1 cubiche 

 piane che si appoggiano alla retta e costituiscono con essa al- 

 trettante quartiche y 1 ; queste cubiche hanno un punto comune 

 (il centro della involuzione I su F'), e i loro piani formano una 

 serie razionale del 3" ordine (*) ; 



2) Una F° di S 4 con una retta doppia, alla quale si ap- 

 poggiano due rette semplici, con due sistemi oo 1 di cubiche piane 

 passanti tutte per uno stesso punto della retta doppia ; i piani 

 dei due sistemi di cubiche costituiscono le due serie di un cono 

 quadrico di S r Due cubiche di uno stesso sistema non hanno 

 che il vertice del cono in comune ; due cubiche di sistemi di- 

 versi si segano ancora in due punti ; 



3) Una F° di S 3 con tre rette doppie uscenti da un punto 

 triplo, e tre rette semplici ciascuna delle quali si appoggia a due 

 rette doppie. Le oo 2 quartiche y, sono segate dai coni quadrici 

 che passano per le tre rette doppie (**) ; 



4) (Scegliendo 4 centri di proiezione sopra una y, di F (2t 

 si ottiene : ) Una F i di S 3 con tacnodo e quattro rette semplici 

 nel piano tangente alla superficie nel tacnodo (***). 



Le superficie 1), 2), 3), 4) si possono rappresentare sul 

 piano semplice mediante le curve del sesto ordine che hanno 7 

 punti base doppi e risp. 1 , 2,3, 4 punti base semplici ; 

 nell'ultimo caso i 4 punti semplici stanno in una cubica coi 7 

 punti doppi (****). 



(*) La F 1 di S 5 di prima specie contiene invece una sola cubica piana 

 (v. n° 4). 



(**; Un cenno di questa F 5 si trova al n° 42 della citata Memoria del 

 Caporali. 



(***) Di questa superficie che in tutta la sua generalità fu fatta conoscere 

 dal Nòther (Góttinger Nachrichten, 1870), uno studio completo si deve al 

 sig. Cremona (Gollectanea Mathematica, pag. 413). 



(****) Ciascuno dei tipi 1) .. 4) ammette come caso singolare una super- 

 ficie 1)'... 4)' non rappresentabile sul piano, ma sul cono cubico, la quale 

 si ottiene proiettando una F( 2 ) con tacnodo 1 , anziché la F( 2 ) generale. Di 

 queste superficie particolari le 1)', ... 4)' oltre alle proprietà del tipo omologo 



