SUPERFICIE A SEZIONI DI GENERE 3 483 



superficie di terza specie deve aver l'ordine quattro, appartenere 

 al nostro spazio e possedere un punto doppio (ma non curva 

 doppia). Ora una tal superfìcie ha in generale il genere 1 ; ma 

 può divenire rappresentabile sul piano semplice (acquistando il 

 genere 0) per particolari singolarità del punto doppio. 11 Nother (*) 

 assegnò i due tipi di F* con punto doppio che sono razionali, 

 ne diede la rappresentazione piana e ne dedusse le principali 

 proprietà. Qui dirò soltanto che una di queste F i è rappresen- 

 tata sul piano mediante il sistema delle curve di settimo ordine 

 con un punto triplo e 9 punti doppi comuni, i quali 10 punti 

 base stanno in particolare posizione sopra una cubica; l'altra jP 4 

 mediante il sistema delle curve del nono ordine, il cui gruppo 

 base è costituito da otto punti tripli , un punto doppio e un 

 punto semplice (dieci punti che stanno sopra una stessa cubica). 

 Una superficie di quarta specie non potendo contenere un 

 sistema oo 2 di quartiche di genere inferiore a 3 , deve necessa- 

 riamente essere la superficie generale del quarto ordine di S 3 . 

 Una tal superficie ha il genere ì, e non può mai rappresentarsi 

 sul piano. 



IV. 



Superfìcie sulle quali ogni curva 

 del sistema (y) si scinde. 



12. E questo l'ultimo caso che devo esaminare. 



Segue da una osservazione fatta più volte dal sig. Nother (**) 

 che sopra uua superficie irriduttibile la curva generica y di un 

 sistema lineare (y) può scindersi soltanto in curve tutte dello 

 stesso ordine, formanti un tal sistema co 1 (ò) che per ogni punto 

 della superficie passi una sola curva di (ò) (più forse qualche 

 curva fissa comune ad ogni y). Nel nostro caso, pensando alla 

 </ 4 (2) segata sopra una sezione di F" da (y) si vede subito che 

 non può da ogni curva di (y) staccarsi una stessa curva fissa ; 

 e poiché la y generica è del quarto ordine essa potrà scindersi 

 soltanto in due coniche o in quattro rette, come avevo già af- 

 fermato al num. 1. 



(*) Ueber die rationalen Flcichen vierter Ordnung (Math. Annalen, Bd. 33). 

 (**) Math. Annalen, Bd. 3, pag. 171; Bd. 8, pag. 524. 



