484 GUIDO CASTELNUOVO 



Nella prima ipotesi le ex- 1 curve y che passano per un punto 

 di una conica formante parte di una y, si scindono tutte in 

 quella conica e in oo 1 altre coniche che costituiscono un sistema 

 lineare ; due qualunque tra queste formano una curva y. La F'\ 

 adunque per un teorema già citato dal sig. Nother (*) è rap- 

 presentabile sul piano. Sopra una sezione di F n le oo 1 coni- 

 che determinano una involuzione razionale di coppie di punti, 

 sicché la F n ha per sezioni tutte curve iperellittiche ; le pro- 

 prietà di questa F" seguono quindi subito (ponendo n = 3) da 

 quelle che ho dimostrato in una mia Nota (già nominata) per 

 le superficie a sezioni iperellittiche di genere n. Così si trova 

 che: la superfìcie a sezioni iperellittiche di genere 3 che ha 

 il massimo ordine ed appartiene allo spazio più elevato, è 

 la F' 6 di S u ; ogni altra F" della categoria qui studiata può 

 ottenersi dalla F 16 mediante proiezione. La F 16 di S u contiene 

 oo 1 coniche i cui piani formano una varietà razionale d'ordine 12. 

 La F 16 può appartenere a due diversi tipi perchè: l) o le curve 

 d'ordine minimo secanti ciascuna conica in un sol punto sono 

 oo 1 quartiche razionali ; 2) vi è una sola curva d'ordine mi- 

 nimo p 1==. 3 secante in un punto ciascuna conica. 



Nel primo caso la F 16 si rappresenta sul piano mediante 

 le curve del 6° ordine che hanno un punto quadruplo e un 

 punto doppio in comune ; nel secondo caso mediante le curve 

 d'ordine 8 — p. con un punto multiplo secondo 6— p. e 3 — p„ 

 punti doppi infinitamente vicini a questo (^.= 0, 1, 2, 3). 



Credo inutile di fermarmi sulle varie proiezioni di questa 

 F 1G negli spazi inferiori (tra le quali noterò soltanto la F° con 

 retta tripla di S 3 ). 



13. Se la curva generica y si scinde in quattro rette, la 

 F" contiene oo 1 rette ed è quindi una rigata di genere 3. 



Da alcuni teoremi del sig. Segre (*) sulle rigate di genere 

 n , segue subito : Una rigata di ordine qualunque n e di ge- 

 nere 3, la quale appartenga ad uno spazio inferiore ad S n _ 5 , 

 è proiezione di una rigata dello stesso ordine appartenente 

 ad S n _ 3 é Una rigata d'ordine n e genere 3 può avere però per 

 spazio normale un S r dove r ~> n — 5 ; il massimo valore che può 



(*) Math. Annalen, Bd. 3. 

 (**) Courbes et surfaces réglées algébriques, Matli. Ann. Bd. 34. 



