ALCUNI TEOREMI SUI COEFFICIENTI DI LEGENDRE 17 



VII. 



Dalla teoria delle armoniche zonali super fidai i si hanno i 

 due teoremi seguenti: 



f 



P^{lj.)P„AlJ.)P„ilj.)diJ. = 0, ...(38) 



per tutti i valori di / , di ed n , tranne per quelli che son tali, 

 che / 4- »« + w = 2 7 , e di più che ciascuno dei tre numeri sia 

 minore della somma degli altri due, od uno eguale ad essa : per 

 essi si ha , 



J 



,+ f 



2 'iiiiy — i)'Jj((7 — ììAiila — n) 

 P,(,u) P„ (,.) P, (,.) d^. = -~ '' n-) • "" 



nella quale si ha con simboli generali 



1.3.5. . .(2g-l)(*) 



^(5) 



2.4.6. . .2q 



Moltiplico ora l'equazione (27) per P„^{[j.) P„{u.)cIij. , m ed n 

 essendo due intieri positivi che con i soddisfanno alle condizioni 

 volute dair equazione (39), ed integro fra —1 e +1 rispetto 

 a y. , avrò 



1 \P„,{>j.)P„{ij)Y,{i,.^)dix.il', 

 ^ ^ ' (40) 



4 7rr,(l) ò{7-i)'h{7-m)'!^(7-n] 



2 cr + 1 'P{7) 



Questa formola comprende come caso particolare, i)/ = 0, 

 n = i , quella dimostrata da Fekreks a pag. 84 del suo Trattato 

 suite Arnìoniche sferiche. 



(*) Zanotti BtANCO, Alcuni teorenà sui coefficienti di Legendre. Atti della 

 R. Accademia delle Scienze di Torino, voi. XVII, 1887. 



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