SUL PROBLEMA DELLA CORDA VIBRANTE 265 



dove la funzione f (x), data originariamente solo neW intervallo 

 (0,L) , va intesa continuata fuori di questo in guisa che essa 

 riesca periodica e dispari, con periodo 2L e la funzione g (x) 

 è definita nelV intervallo (0,L) dalla formula 



X 



g{x)=jJF{x)dx 



o 



e fuori di questo dalla condizione che essa riesca periodica e 

 pari, con periodo 2 L. 



In simboli la legge con cui si debbono intendere continuate 

 le funzioni f{x) e g[.c) è espressa dalle equazioni: 



f{x)=:.-f{-x) : f{x±2L)=f{x) ; 



9(^) = 9{-^) ; g{x±2L)=g{x) . 



Le funzioni f{x) e g (x) troverebbero la loro naturale rap- 

 presentazione analitica in due serie di Fourier, e cioè, la 1* in 



, , . v- ^ nnx ., . . . , , . 



una sene del tipo : 1 A„ san — -— e 1 altra in una sene del tipo : 



jL 



1 n TI X 



--- B^-\-lB^ cos -^:— , i cui coefficienti risulterebbero immedia- 



tamente espressi coi dati del problema per mezzo delle formule 

 notissime : 



L L 



A 2 r^/ \ **^^ 7 7? 2 r / \ "'^^ 7 



" ~ I / (■^) sen -j- dx ; B,— ~\g {x) cos -j- d x . 



o o 



CoU'espressione della funzione v: si verifica con tutta facilità 

 che se vi sono vertici questi avanzano o retrocedono) con velocità 

 a stimata secondo l'asse delle x ; questo basta per assicurarci 

 che Vequazione dinamica relativa ai vertici è soddisfatta, giac- 

 che la Ti essendo continua senza eccezioni la seconda condizione 

 del sig. Christoffel è certamente soddisfatta. Adunque la presenza 

 dei vertici non ha alcuna influenza sulla formula diD'Alemhert. 



Se F (x) G(x) sono discontinue per Jt; == X , da questa di- 

 scontinuità iniziale nascono in generale due vertici. Infatti : le 

 derivate prime della y; sono discontinue per i valori dì x e t 

 determinate dalle equazioni : 



x — c/.t=:A x-\- at = l 



