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e però: cj{- c/.t)=zg{at) ; f{—at) = -f{at) . 



Sostituendo nell'espressione di v: si ha subito: 



f{x -\-(y.t) + f{x -y.t) g { x+at)-~gix-at) 

 ''- 2 + 2^ ■••^^' 



e si verifica immediatamente che: 



j\;cu=f{x)-\--c 



o 



Dunque: la serie Yi è convergente e le sue derivate parziali 

 sono le serie convergenti r/i, r/ ^ per quei valori di ^ e .r per i 

 quali queste sono continue, oppure più generalmente le derivate 

 parziali destre e sinistre della v: sono i limiti dei valori a destra 

 ed a sinistra delle serie r;,, /; ,. rispettivamente C^'). Con ciò il no- 

 stro teorema è pienamente dimostrato. 



Osserviamo ora che se nell'intervallo (0, L) fosse data una 

 funzione finita e continua f{x) , soddisfacente alle condizioni : 

 /'(O) =/'(Z) = , e la quale ammettesse una derivata prima 

 f'{x) = G{x) sviluppabile in serie di Fourier; questo sviluppo si 

 potrebbe ottenere, in base ad un noto teorema, derivando ter- 

 mine a termine lo sviluppo in serie di seni della funzione f{x) {*'^). 

 Sicché i coefficienti An della nostra serie Yi resterebbero gli stessi 

 sia identificando y/^ per t = o collo sviluppo di f' (x) ^ G {x], 

 sia identificando per f = o la serie y collo sviluppo in serie di 

 seni delle f{x). 



Se adunque le funzioni F{x) e G{x)=f'{x) hanno proprietà 

 compatibili col loro ufficio nel problema della corda vibrante, pos- 

 siamo concludere che la serie di Bernoulli (y) è non solo con- 

 vergente e derivabile termine a termine una prima volta tanto 

 rapporto a t che ad x, ma ancora che essa è xìienamenfe equi- 

 valente alla soluzione di D'Alembert. 



[*) Trattandosi di funzioni di più variabili le diciture: derivate e valori 

 a destra ed a sinistia, divengono imprecise. È per ciò bene notare, die per 

 valori e per derivate parziali a d.'stra si intendono quelli rispondenti ad ac- 

 crescimenti positivi della relativa variabile indipendente. La cosa analoga 

 dicasi per i valori e le derivate parziali a sinistra. 



(♦*) Cfr. la Memoria del sig. DrNi : Sopra la serie di Fourier. Pisa, ISistri, 

 1SS2, pag.fi, osserv. 8<. 



