SUL PROBLEMA DELLA CORDA VIBRANTE 273 



.Se noi avessimo avuto di mira soltanto di dimostrare la con- 

 vergenza della serie v;, operando direttamente su queste trasfor- 

 mazioni analoghe a quelle fatte sulle serie v;', , r! ^ avremmo con- 

 cluso facilmente che se 



f{uj)= J ^„sen-— ; 



oc 



(j (^) =: a 7 BAX - COS -^ \ 



sono le soììime di due serie sempre convergenti; la serie r, è 

 pure convergente e la sua somma è rappresentata dalla for- 

 mula (/). Cioè, per la convergenza della serie di Bernoulli basta 

 che sieno convergenti le due serie f{x) e g (x) : ma in tal caso 

 non si potrebbe più parlare di differenziabilità della Yi. 



Eeciprocamente, ammesso che la serie n sia sempre conver- 

 gente, lo è pure la serie f(x), che si ottiene dalla Yi ponendovi 

 t:=0, ed è presto visto che è anche convergente la serie g (x). 

 Infatti, scritto nella serie r, invece di ^ e di ^ rispettivamente : 



2"' 27' ^'''^^ 



X oc 



(X x\ \~^ nnx nn x V~^ 



nn x 

 T "2 



= 2^'(^'^ + 2^^("'^- 



Dunque : quando la serie di Bernoulli è convergente la sua 

 somma ha la forma (I) (*). 



Allorquando la serie r, rappresenta la soluzione del problema 

 della corda vibrante è, come vedemmo , differenziabile termine a 

 termine una prima volta per rapporto alla variabile t, cioè posto 

 per brevità: 



si ha : 



2 nna ^ nna 



-y (j„ =i— y. a„ sen 1 + o„ cos -— - t 



L 9. L 



^Yj , 2 V^ ^^ nn 

 — =Y,, = -J 6„sen -—X . 



o t L i^^ L 



{*) Harnack, 1. c. , pag. 493 



Atti lì. Accad. - Parte Fisica — Voi- XXIIl 



