SULLE VARIETÀ KAZIONALl SEMPLICI DI PIANI 103 



40. Riassumendo noi vediamo che le S^— F" di S,^^^ pos- 

 sono essere di varie specie. Ogni specie è caratterizzata da due 

 numeri ^;/, ìh" , che rappresentano gli ordini delle curve e ri- 

 gate minime, e che devono soddisfare le condizioni (2) e (3), delle 

 quali le (1) sono conseguenze. Vi è in generale una sola curva 

 minima ed una sola rigata minima poste l'una sull'altra ; fanno 

 eccezione il caso in cui ììì"=2nì' , che allora vi sono oo' curve 

 minime sull'unica rigata minima, il caso in cui 2 m"^ n + ìu' , 

 perchè allora \ai sono oo' rigate minime passanti per l'unica curva 

 minima , e fìn;ilmente il caso più particolare comune ai due 



precedenti di vi = - nel quale vi sono oo^ curve minime e oc* 

 .) 



rigate minime. 



Vedremo poi che quelle varie specie esistono realmente e 



che le varietà di una stessa specie sono projettivamente identiche. 



Avendo noi escluso il caso in cui le varietà stesse siano coni 



(caso che corrisponderebbe ad rìì'=:0), dovrà essere ììì'—1 e 



quindi iif"^2: quelle varietà non contengono dunque altri piani 



che i piani generatori. 



III. 



Loro rifiaie e curve l'azionali normali. 



\ \ . Prima di passare alla ricerca di curve e rigate contenute 

 in F conviene che ci occupiamo delle relazioni tra piani di questa 

 varietà, questione che avevamo dovuto lasciare sospesa al n" 2. 



Si vedo facilmente che m' -\-\ piani sono sempre indipen- 

 denti, cioè appartengono ad un S-^„^,_^^ . Invero se stessero in 

 un /S3„,/^, , questo conten-ebbe ìa (od of)iii) C" , avendo su 

 essa ììì' + 1 punti : onde se vi sono infinite curve minime , cioè 



quelle oo^) punteggiate proiettivamente, ovvero dalle rette congiungenti i 

 punti corrispondenti di due piani (generatori qualunque) punteggiati proiet- 

 tivamente. Per ogni suo punto passano un piano generatore ed una retta di- 

 rettrice; per due suoi punti passa una quadrica, ecc. Ogni S^ di S^ contiene 

 una retta direttrice ; per ogni punto di 5j passa un 5j contenente una quadrica. 

 Del resto, per brevità, non starò a dare in questo lavoro altii esempi 

 delle varietà studiate. 



