StJLLì: VARIETÀ KAZIOKALI SEMPLICI DI l'IANI 105 



i 2. Ciò premesso , siamo in grado di determinare tutte le ri- 

 gate Fi' d'ordine m —ti (e ^m"), e quindi (n" 2) razionali normali, 

 contenute in F. In fatti ogni tal rigata insieme con un gruppo 

 fissato ad arbitrio di [j. = n — ni piani apparterrà ad un S'„^, . 

 Viceversa un /S'„^, passante per quel gruppo di piani, cioè per 



lo spazio a cui esso appartiene, contiene, se rt—m^s>m" — ?«' , 

 cioè m<in — m"-\-m', la F"'"' (n" 11) e quindi determina una 

 F"^ degenerata in questa rigata minima ed ni — m' piani ; ma 

 se invece n — i}ì — m"—m', cioè ìu ^n -\-n/' — v/" , determinerà 

 su F una rigata F"', in generale non più composta, e che pas- 

 serà per la C'"' quando ìi — m':>ìn', cioè ni <ì'ìì — m . Si vede 

 dunque che, limitandosi alle rigate semplici e non tenendo più 

 conto delle rigate minime, Tordine ììi di una rigata non può 

 essere minore di n -\- m — m" , e che tutte le rigate d'ordine 

 m si ottengono mediante gli ;S'„_^, passanti per lo spazio a cui 

 appartiene un gruppo arbitrario di n — m piani , cioè per un 

 '^3H-37n-i se ìii—n — m', e per un 'S'^„_2,„+,„' se m^an — m (n" 11). 

 Giungiamo così ai risultati seguenti : 



Se m non saliera n e non è minore di n — m' vi sono su 

 F 00^'"-="'+^ rigate d'ordine m , le (inali non passano in gene- 

 rale per la curva minima e formano una serie lineare, sì che 

 per D rette e 3m— 2n— 2v + 2 punti ne passa generalmente 

 una determinata. 



Se m è minore di n — m' ma non minore di n + m' — m" 

 {il che è impossibile solo quando m"=2m') vi sono oo^ "'"""'"'+' 

 rigate d'ordine m, le quali passano tutte per la curva minima 

 e formano una serie lineare, sì che in generale per v rette e 

 2m — n — m'— 2 > 4- 1 punti ne passa una determinata. 



Risulta pure dalle stesse considerazioni che : due rigate 

 d'ordini m, , m^ di cui una almeno non passi per la curva 

 minima si tagliano in generale in una- curva semplice d'ordine 

 m. + nij — n. Una rigata d'ordine m non passante per la C '"' 

 la incontra in m + m'— n punti. Ecc. 



i3. Perchè siano completamente note le rigate razionali 

 normali di F è necessario conoscerne non solo l'ordine, ma anche 

 la specie, cioè l'ordine della curva minima. Per una rigata pas- 

 sante per la C" si saprà già senz'altro che questa è la curva 

 minima. Si tratta dunque solo di esaminare una F'" non pas- 

 sante per C"'( sicché m—n — m'). La (od ogni) rigata minima 



