SULLE VARIETÀ RAZIONALI SEMPLICI PI PIANI 107 



Da ciò si dedurrebbe facilmente quale varietà formano le 

 curve razionali normali di un dato ordine (soddisfaciente a certe 

 condizioni) su F . 



1 i. Facciamo invece un'applicazione del risultato ottenuto, 

 la quale ci servirà iu seguito. Determiniamo cioè quanti elementi 

 di F, punti, piani e rette, può contenere un S„_, senza con- 

 tenere nello stesso tempo una curva od una rigata. Un /S'„_, si 

 può far passare per f^ piani, /, rette ed (« — 2/, — 3fJ punti 

 di F, essendo ^ , o ^ => /^ 



Però affinchè esso non contenga le O"'' deve essere 



e affinchè della rigata minima F"'\ di cui conterrà t^ generatrici 

 e t, punti, non contenga ancora una curva dovrà essere [li. n" 8) : 



Queste tre condizioni sono anche sufficienti, perchè un S„_, pas- 

 sante per t^ piani e f, rette di F non la incontri più che in 

 punti isolati. Invero un *S'„^_, condotto per queir>S'„_, taglia 

 quella varietà, oltre che nei f^ piani, in una rigata d'ordine 

 n — t.^ (in generale semplice) passante per le t, rette; e VS,,_, 

 contenendo t,-]-t^ generatrici di quella rigata la taglierà ancora 

 (K. n" 8) in [n— f^)~2{f,-\-t,) = n— 2t—3t, punti isolati. 

 Perocché l'ordine minimo di curve di quella rigata d'ordine n — t^ 

 essendo, come si è visto al n" precedente , il più piccolo dei 



n — t 

 numeri / — ~— ^ , ì)i" — ^^ , è soddisfatta la condizione che il nu- 

 mero t,-{-f, di quelle generatrici non superi quest'ordine minimo; 

 in fatti quella condizione darebbe : 



2 {t,+ Q ^n-t, (^) , ^. + ^,< m"- 1^ , 

 relazioni entrambe vere in causa delle precedenti. 



(') Veramente nel 2° membro di questa relazione si dovrebbe scrivere 



21 — zr^ > che diverrebbe n — 1^ — I quando n — t^ fosse dispari; ma in tal 



caso essa sarebbe ancora soddisfatta, giacché allora ti — 2t^ — 3/^ sirebbe 

 non solo > U , ma > 1. 



