SULLE VARIETÀ RAZIONALI SEMPLICI DI PIANI 109 



10. Possiamo anele trovare equazioni canoniche per (quelle 

 varietà. Consideriamo quelle tre curve razionali normali C""', 

 C""'""'', (7"~"'" . Gli spazi a cui esse appartengono essendo in- 

 dipendenti si possono prendere su essi risp, m' + 1 , m" —tu' + 1 , 

 n — ni" -\- 1 punti fondamentali e basterà che su ciascuno di essi 

 i punti presi siano indipendenti perchè tutti gli n + 3 punti 

 fondamentali presi insieme siano tali. Prendiamo su ciascuno di 

 quei 3 spazi i punti fondamentali in modo che formino un si- 

 stema di riferimento canonico per la curva corrispondente , e 

 stabiliamo la projettività fra le tre curve ponendo che il para- 

 metro variabile x abbia lo stesso valore in punti corrispondenti. 

 Allora le equazioni delle tre curve avranno le forme : 



:!,..., X^'=: X ', Xf„,_^,^y),,.,, ^'„,o_^,=U, ^m'+i — '-')•••? «^n+z— -- • 

 O y . y — 1 y — in"-m'. — n r> 



: U , ... , ^'„,>=U , X„J'_^_^=^\) , ... , ^TO".f.,= '-' 5 ■^ni'+z ^5 ••• 5 ^,,+x^X 



Quindi per un punto qualunque della varietà F costituita 

 dai piani conginngenti i punti corrispondenti sarà : 



•^m' + \ ^-^ y ! ^m'+i^^y "^ ì • • • 1 ^m''+\^—y-^ ' 



•^m'+i.-—^ 5 '^'m"+'i-—~^ '■ • ' • ì X„^^=2 X 



Eliminando i parametri x, y , z tra queste equazioni otteniamo 

 per le n — 1 equazioni di F le seguenti : 



■^0 "^i • '^m—\ "^m'+i ■^ni'+i ■ '^ ni' ^m"-\-i ^m"+': ' "^n + 1 







Queste equazioni provano che F non ha altri invarianti 

 assoluti che i numeri ìi/ , m", che no determinano la specie; il 

 che risultava pure dalla generazione vi^ta di quella varietà. 



