SULLE VARIETÀ RAZIONALI SEMPLICI DI PIANI 111 



essendo negativo si potrà prendere t^ non maggifjr? di esso, 

 cioè soddisfare anche la 2''. Quanto alla 3" essa ci dà: 1f^ — 

 n — ?>t^ — 1 e questo secondo membro diventerebbe negativo solo 

 ([uando, essendo n--=oìv' , si fosse scelto precisamente t^=zm'. 

 Per soddisfare le (4) si può dunque sempre prendere t^ — ni 

 ad arbitrio , tranne quando F fosse della specie corrispondente 



ad vi' =■ — , nel qual caso si deve prendere t^ •< m' . Con 



questa condizione per soddisfare simultaneamente la 2* e la 3' 

 delle (4) basterà prendere 2t, non maggiore di 2{m" — 2t^) e 

 di 11— 3 1^ — 1. L'ordine v — t, — 2t^ della rappresentazione si 

 rende minimo rendendo massimo f,-\-2t.^: in causa della 2" 

 delle (4) questa quantità non può superare iìi" . Se la può rag- 

 giungere , cioè se si può fare f,=m" — 2f^ , dovrà poi essere 

 in causa della 3" : 2 m" — f^ — iì — 1 , ossia t^ — 2 di"— n + 1 . 

 Perchè questa relazione sia compatibile colla t^ "^ in' occorre e 

 basta che sia 2iii" — n-\-\ "^w, cioè 2m"<:.n-\-in'\ questa 

 condizione è sempre soddisfatta per la (3) , tranne quando 

 2iì/" = n-\-iii . È dunque solo in questo caso eccezionale che 

 il valor massimo che possa prendere t, -[-2 f^ non è m" ; esso è 

 allora iìi''—1, poiché posto ^,+ 2^^^^^/"—! la 3' delle (4) dà: 

 2 Dì"— 2 — f^^n—ì, ossia t.^ — 2 di''— n — Ì , cioè f^ — di'— 1 . 

 Questa relazione si accorda colla t^ ^ ni prendendo t^ = in' — 1 , 



oppure I se non è dì' ^= - \t^=:Di'. — Da tutta questa discus 



sione si traggono i risultati seguenti : 



La rapprcscntasione miniina è in (jcnerale d'ordiDe n — m" 

 e si. ha prendendo t^ non maggiore di m' e non niinore di 

 2m"— n+1 e poi t,==m"-2t^, t,. = n— 2m"+t,— 1 . 



Però quando vi sono infinite rigate minÌD>e, eioè quando 

 2m '=:n -\-m', la rappresentazione miniina è d'ordine n — m"4-l 

 e si ottiene o prendendo t^ = m' — 1 e ejuindi t, = m'' — 2 m'+ 1 , 

 ^0^=^? oppure prendendo t^=rrm' e cjuiiidi t, =:m'' — 2 m' — 1, 

 t^=l. Questa seconda ipotesi non si può tuttavia fare nel 



caso più particolare in cui m =-; per avere allora la rap- 



o 



presentazione min ima d'ordine n — m"+ 1 (=m'+l) bisogna 

 far la dirima ipotesi, cioè prendere m'— 1 piani P^ , una sola 

 retta l\ e niun punto V,. 



