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Le equazioni del n" IO, che danno le x^ in funzione di tre 

 parametri x , y , z esprimono , se questi si considerano come 

 coordinate (non omogenee) di punti in ^ , una particolare rap- 

 presentazione di F, su 1. d'ordine n — m'-\-\. 



19. Cerchiamo ora gli elementi fondamentali della rappresen- 

 tazione in ogni caso; ed anzitutto vediamo in quale serie di piani 

 di 2 sono projettati i piani di F. Si ha n — t^ — 1 ^ n-\-'ìu — m' 

 dalle t^ "fi. di' , 2 ni — m" ; tranne nel caso di 2 iìì' = ìì>" e f^=:m' . 

 Yi è dunque (n" l 2) su F una determinata rigata (non degenere 

 in generale) d'ordine 7^ — f.^ — 1 , F"~'2~' , passante per le t, rette 

 P, e pei fa punti P^ (e contenente la curva minima quando 

 t^=^m) . Però nel caso della rappresentazione minima generaìe 

 (cioè non per quella corrispondente al caso di 2m' =^n-\- m ) 

 essendo t^-\-2t^^iì>" quella rigata si ridurrà all'insieme dei 

 ^o + ^1 piani generatori passanti pei P^ e P, e dell'unica rigata 

 minima F./"", poiché questo insieme in virtù della (5) è in tal 

 caso appunto dell'ordine iì — f^ — 1 . In particolare ciò vale 

 anche nel caso , compreso in quello e che prima si era escluso, 

 in cui 2 ìn'= ni" e t^=^ ni' : la F"~'ì~' , che prima trovavamo 

 non esistere in questo caso, si può considerare come composta 

 di quei piani generatori e della rigata minima. 



Ciò posto, la F."~'-i~' sta coi t^ piani P^ in uno spazio 

 projettante U„ , il quale taglia - secondo una retta r , imagine 

 di quella rigata. Ogni piano di F contenendo una generatrice 

 di quella rigata sta in un S „^^ passante per U„ ed è quindi 

 projettato su 2 secondo un piano passante per r . Dunque : / 

 piani di F hanno per imaginl i piani di un fascio r . 



Siccome poi ogni sezione di F fatta con un S„j^^ è incon- 

 trata in una retta da ogni piano generatore , così in ^ la rigata 

 imagine di quella sezione sarà incontrata solo in una generatrice 

 variabile da ogni piano passante per r. Dunque le oo"^^ rigate 

 razionali d'ordine n — t, — 2 t^ r7« 1 hanno r per retta multipla 

 secondo n — t, — 2 t^ — 1 . 



I t^ piani generatori passanti per le rette P, ed i t^ pas- 

 santi pei punti Po sono projettati secondo t, punti Q e t^^ rette 

 lì appoggiate ad r: essi sono del resto incontrati da ogni sezione 

 di F fatta con un S„_^.,, siccliè la proiezione di questa sezione 

 passerà pei Q e per le P. Nel caso della rappresentazione mi- 

 nima generale risulta da (juaiito si è visto sulla conipotizione 



