178 GIUSEPPE BRUNO 



è la principale , compresa fra le due principali , che nella 

 prima serie sono più prossime, l'una da una parte l'altra dal- 

 l'altra, alla detta intermediaria. 



Anzi è vera la seguente proposizione più generale : 



Una frazione intermediaria compresa fra le due frazioni 

 principali d'ordine i ed /+ 2 di una frazione continua si ac- 

 costa a questa frazione continua più di qualsivoglia frazione 

 espressa in termini più semplici, ad eccezione solo, e solo in 

 alcuni casi, della frazione principale d'ordine ^'+1. 



Di questa proposizione io do la dimostrazione nella presente 

 Nota. 



Sia X la frazione continua: «^ il suo «"'""' quoziente incom- 



P 



pleto, Xi il suo /"""" quoziente completo, — ^ la sua i^""'" fra- 



zione principale. Cosicché sia: 



Po==l, ^0 = 0: P=a^, (>.--=l, 

 e, per ogni valore di / intero e positivo , 



Pi + i ^i+i + Pj 



QQ -1 



Detto K un intero qualunque, positivo, non nullo e minore 

 di «;+, , e fatto 



T> 



sarà — Vi\\ intermediaria qualunque della frazione continua x^ 



^ . . P . P,^, 



compresa fra le due frazioni principali — ', '"^"^ . E si tratta 



di dimostrare che se J. e P sono due interi tali che la fra- 

 zione — sia più prossima ad x^ della frazione — , e non sia 



P b 



A P, + . 



R ed S: 



i numeri A e B sono rispettivamente maggiori di 



