TEORIA DELLE FRAZIONI CONTINUE 179 



Come dicemmo, se -— si scosta da ./■ nello stesso senso, 

 B " 



p 

 in cui se ne scosta -- , la proposizione fu dimostrata da La- 

 grange nelle succitate sue addizioni all'algebra d'Eulero: anzi, 

 ivi è anche dimostrato che, se il valore di - è compreso fra 



quello di •- e quello di - '"*"' , è ancora A^R e B>S, co- 



■ -, ^ 



sicché la proposizione è pure dimostrata nel caso m cui la — 



X) 



differisce da x in senso contrario a quello in cui ne differisce la 



— - , purché — sia, più di , prossima ad x . 



Pertanto resta solo a provare la verità della proposizione nel 



P 4., 



caso, in cui il valore della — ^-^ sia compreso fra quello di x^ 



A ^^ +■ 



e quello di - . 

 B 



Per fare questa dimostrazione osservo che la quantità , che 



si scosta da Xg di una quantità uguale e di segno contrario a 



7? P 



quella, di cui si scosta la — dalla stessa ^„ , e 2 x^ — a ' ^ ^^^^ 



S IO 



perciò, la frazione — differendo (in senso contrario) da x^ meno 



jD 



di quanto ne differisca - , la frazione — è compresa fra x^ e 



o B 



-E 



La differenza •^ — (2^ — — ) fra - e 2j;„— — sarà 



dunque positiva , o negativa , secondochè / è pari , od impari : 

 cioè si avrà 



A / _ R 



B 



-i^^"-f) 



(-1)' 



Ma si ha pure 



. 



