RAPPRESENTAZIONE DELLE OONGRTteNZE [S.G]., E [2,7] 423 



Le quattro condizioni comuni — oltre al toccare /"' — a cui 

 sono sottoposte tutte le curve del sistema ora considerato, non 

 possono essere di dover esse toccare altre rette fisse. Infatti due 

 rette qualunque dello spazio /, / sono incontrate da otto rette 

 della congruenza (perchè una di esse incontra in otto punti la 

 rigata corrispondente all'altra); onde le curve del sistema devono 

 avere a due a due otto tangenti mobili comuni e però non ne 

 possono avere più di una, /"', fissa. 



Le predette condizioni non sembrano suscettibili di un enun- 

 ciato semplice, ma un'idea della specie del predetto sistema può 

 dedursi dall'osservazione che di esso fanno parte le oo^ curve {di 

 3^ classe) formate ciascuna daììa conica fissa Q e da un fascio 

 di raggi del piano di rappresentazione ; ciò è conseguenza di 

 quanto già osservammo (n. 4) che la rigata A^ corrispondente 

 a una retta dello spazio si scinde nel cono di raggi di centro C 

 (avente per imagine Q) e in una rigata cubica (rappresentata da 

 un fascio di raggi). 



Osserviamo finalmente che il sistema lineare a cinque dimen- 

 sioni, il quale, in grazia di un teorema noto, deve contenere il 

 sistema quadratico di curve di cui trattiamo, è costituito dalle 

 curve imagini delle rigate della congruenza contenute negli oJ^ com- 

 plessi lineari dello spazio (cf. n. 11). 



7. Da ogni punto ilf dello spazio escono due rette p, q della 

 congruenza, le quali sono rappresentate da due rette p\ ri uscenti 

 dalla traccia 0' della retta CMeiEo. Tacendo variare il punto 31 

 sulla retta o, le rette p\ cf formeranno un'involuzione di raggi ; 

 infatti ogni retta p uscente da 0' e imagine di una retta p 

 della congruenza incontrante o in un punto M, da questo esce 

 una seconda retta q della congruenza, la quale è proiettata 

 nella retta q uscente da 0'; viceversa partendo da q' si trova 

 })'', quindi — poiché la corrispondenza fra p' e q è evidente- 

 mente algebrica — possiamo concludere : 



Ogni punto 0' del piano rappresentativo è centro di un'in- 

 voluzione di raggi le cui singole coppie corrispondono univo- 

 camente ai punti del raggio proiettante 0' da C. 



In generale le curve di 3* classe del sistema quadratico 

 quadruplicamente infinito dianzi considerato tangenti a due rette 

 fisse r j r ., del piano di rappresentazione formano un sistema 

 quadratico doppiamente infinito; ma se queste due rette fisse 

 sono coniugate nell'involuzione che spetta al loro punto comune 



