424 GINO LORIA 



(se cioè le rette ì\ r.^ s'incontrano) le curve die le toccano for- 

 mano due distinti sistemi lineari doppiamente infiniti. Uno di 

 questi comprende le curve corrispondenti alle rette (*) che escono 

 dal punto F d"intersezione delle rette r^ r^; tutte le curve che 

 fanno parte di esso hanno solo 3 tangenti comuni, cioè /' e r^' rj. 

 L'altro comprende le curve corrispondenti alle rette che si trovano 

 nel piano n delle due rette r^ ì\-, ; tutte le curve che fanno parte 

 di esso hanno 7 tangenti comuni, cioè f e le imagini delle rette 

 della congruenza che stanno in ;:. 



La conica Q ha una parte importante anche nello studio di 

 queste involuzioni ; per riconoscerlo hasta osservare che le due tan- 

 genti condotte ad essa da un punto qualunque P' del piano rap- 

 presentativo si corrispondono nell'involuzione che spetta al 

 punto P' perchè le rette di cui esse sono imagini s'incontrano. 



I raggi doppi dell'involuzione formata dalle rette uscenti 

 da P' sono le proiezioni delle due rette della congruenza uscenti 

 dai 2 punti d'intersezione (diversi da C) di C P con la superficie 

 focale ; quindi quelle due rette della congruenza sono coniugate 

 rispetto al cono osculatore della superficie avente il suo centro 

 in C (*^). 



8. L'intimo legame delle involuzioni suddette col sistema già 

 considerato di curve di 3" classe, spicca assai chiaramente da 

 quanto segue. 



Consideriamo una retta r' del piano di rappresentazione. A 

 ogni suo punto spetta una determinata involuzione, in ciascuna 

 di queste r ha per coniugata una retta determinata ; l'inviluppo 

 delle oo^ rette corrispondenti a r in quelle oo^ involuzioni è la 

 curva di 3*. classe che è imagine della rigata costituita dalle 



(*) La curva corrispondente a una retta l è l'inviluppo delle imagini delle 

 rette della congruenza appoggiate a l. 



(**) 11 Dott. Corrado Segre, mio amico carissimo, fecemi osservare come 

 dalle proprietà esposte (qui e al n. 15) segua facilmente che ogni con- 

 gruenza [6, 2], duale a quella che stiamo studiando si può sempre, con una 

 conveniente trasformazione proiettiva, ridurre ad avere la proprietà seguente: 

 sui varii piani aventi una stessa giacitura arbitraria le coppie di rette della 

 congruenza hanno direzioni simmetriche rispetto a due direzioni determinate, 

 che sono quelle delle due rette della congruenza poste nei due piani (al finito) 

 aventi quella stessa giacitura e tangenti alla superficie focale, sicché le dire- 

 zioni di queste due rette sono fra di loro ortogonali. 



