426 GINO LORIA 



10. Consideriamo nella congruenza una rigata qualunque di 

 grado g di cui y.c generatrici passino per C q Cp per F e chiamiamo 

 c\ la curva di classe x che la rappresenta. Preso un punto qua- 

 lunque del piano rappresentativo, la retta C 0' sarà incontrata 

 da g — (y.c rette della rigata non uscenti da (7; ne viene che per 

 passeranno g — «^ tangenti di c'^ , dunque x = g — a^ • Le a^- 

 generatrici della rigata uscenti da F sono tutte proiettate in f, 



onde questa è tangente c/.^ — pia di C „_^ . Concludiamo pertanto : 



e 



L'iiìiagine di una rigata di grado g (7/ cui a e generatrici 

 passano per Q e Up per F è una curva di classe g — a^ avente 

 f per tangente c/.p — pia. 



P. e : la rigata costituita dalle rette della congruenza che 

 appartengono a un complesso di grado n ha per imagine una 

 curva di classe 3n di cui f è tangente n — pia, perchè essa 

 rigata è di grado 8 n ed ha 5 n generatrici uscenti da C e n 

 uscenti da F. 



li. Viceversa, una curva c\ di classe h avente /' per tan- 

 gente r pia è imagine di una rigata F^ di grado x; alle rette 

 della rigata che incontrano una retta qualunque l dello spazio 

 corrispondono le tangenti comuni a e',, e alla curva 1'^ corrispon- 

 dente ad / che non cadono in /' . Queste sono evidentemente 

 3h—r, dunque x=Sh — r. — Inoltre, siccome per ogni 

 punto del piano di rappresentazione passano soltanto h tangenti 

 della curva c\. , così la rigata Pj ^^ _ ,. è incontrata da ogni retta 

 uscente da C in soli Jc punti diversi da C e però 2 /.■ — r sue 

 generatrici passano per C. 



Possiamo dunque dire: 



A una curva di classe k del piano di proiezione avente 

 f ' per tangente r — pia corrisponde una rigata di grado 3 k — r 

 di cui 2 k — r generatrici passano p)*"^ C e r per F. 



i2. Da questo teorema discende che nella congruenza (2, 6), 

 non si trova altro fascio di raggi oltre quello di centro F. 

 Per trovare le rigate della congruenza indicheremo con g il grado 

 di una di queste e cercheremo le soluzioni intere non negative 

 dellequazione indeterminata: 



g = 3l-r. 



Distingueremo perciò i tre casi seguenti: 



g=3y-l , g=3y , g=3ij-hl , 



