RAPPKESENTAZIONE DELLE CONGRUENZE [2,6 J., E [2,7] 429 



Se però la retta l passa per C, questa rigata si scinde nel 

 cono singolare di vertice C e in una rigata di 3° grado Qg avente 

 quella retta per direttrice doppia. La rigata Q^ è rappresentata 

 dal fascio di raggi del piano rappresentativo il cui centro coincide 

 con la traccia della direttrice doppia di essa. 



i5. Con ragionamenti analoghi a quelli fatti nei n. 4, 5, 

 G , 7 si dimostrano i seguenti teoremi : 



La rigata A^ formata dalle rette della congruenza appog- 

 giate a una retta qualunque 1, lui, sei generatrici passanti 

 per C e tre passanti per ognuno de' punti Cg. Essa è rap- 

 presentata da una curva Ig di 3* classe. Le curve l'g formano 

 un sistema quadratico quadruplicamente infinito (tale cioè che 

 vi sono due curve del sistema tangenti a quattro rette fissate 

 ad arbitrio nel piano di proiezione); le cinque condizioni comuni 

 a cui tutte soddisfano non possono consistere nelV avere tan- 

 genti comuni, perchè due qualunque di esse devono avere nove 

 tangenti mobili comuni essendo due rette dello spazio incontrate 

 da nove rette variabili della congruenza. 



Le proprietà esposte nel n. 8 e in principio del n. 9 valgono 

 anche per la rappresentazione della congruenza (2, 7); il sistema 

 d'involuzioni di raggi che si ha in questo caso ha pure' una 

 connessione strettissima col predetto sistema di curve di 3* classe : 

 le proposizioni corrispondenti si ottengono come le analoghe per 

 la congruenza (n. 9 e 10), onde ci dispensiamo dall'aporie. 



16. Finalmente, ripetendo con lievissime modificazioni i ra- 

 gionamenti fatti nei n. 10, 11 si conclude: 



L'imagine di una rigata di grado g di cui a^ generatrici 

 passano per C è una curva della classe g — (Xq. 



Una curva di classe k del piano di proiezione rappresenta 

 una rigata di grado 3 k di cui 2 k generatrici passano per C. 



Quest'ultimo teorema ci mostra che la congruenza (2, 7) 

 non contiene alcuna rigata quàdrica; essa è l'unica fra le con- 

 gruenze di Kumnier che goda tale proprietà. 



Le altre rigate che essa contiene sono tutte di gradi mul- 

 tipli di 3 e però si assegnano immediatamente. 



17. La congruenza (2, 7) può considerarsi come la più ge- 

 nerale fra quelle di 2° ordine, perchè, come osservò Kummer (*), 



(I) L. c.,§ M. 



