438 GIUSEPPE PEANO 



3° Le funzioni y^ hanno un limite inferiore Y^ , che è 

 una funzione di x, definita nell'intervallo («, A) , che per x:= a 

 assume il valore h e che soddisfa all'equazione 



^'=/'(^.y,)- 



dx ^ 



4° Il limite superiore delle funzioni ?/., è una funzione 

 Y;, di X, definita nell'intervallo {a, A), che per x=a assume il 

 valore b e che soddisfa all'equazione 



5° Ogni funzione y di x, che per x = a assume il va- 

 lore h, e che soddisfa all'equazione 



è, nell'intervallo [a, A), compresa fra Y^ ed Y^ 



6° Se f{x, y) ha la derivata parziale rispetto y minore 

 d'una quantità assegnabile per tutti i valori considerati delle 

 variabili , tutte le funzioni y di x , che per x=a assumono il 



valore he. che soddisfano all'equazione differenziale — =zf[x,y) 



(.toc 



sono identiche fra loro. 



Dimostrazione. 



Siajp' una quantità >/"(«, h) e si consideri la funzione lineare 

 y =zh-{-iì {x — a) ; 

 questa, per x = a , assume il valore & , e la differenza 



dx 



