440 GIUSEPPE PEANO 



della successiva all'origine dell 'intervallo successivo; ciascheduna 

 di queste funzioni soddisfa, nel proprio intervallo, alla disegua- 

 glianza 



f'>/-(.^,.'/) • 



dx 



Sia f/p la funzione di x (formata da una successione di 

 funzioni lineari), che nei successivi intervalli considerati coincide 

 rispettivamente colle funzioni y y" . .. y^"\ Posto a^" =:^j, si 

 conchiude che y^ è una funzione continua di x, definita nell'in- 

 tervallo («., A^, che per x=:a assume il valore 6, e che sod- 

 disfa alla diseguaglianza 



Con ragionamento analogo, scambiando i segni >> in <:, si 

 dimostra che si può formare una funzione y^ , definita in un 

 intervallo («, A,) che per x^=o, assume il valore h e che sod- 

 disfa alla diseguaglianza 



Tx < ^^"' y-^' ' 



Quindi, detto A il più piccolo dei valori A^ e A.^ , nell'in- 

 tervallo (a, A) si sono formate le funzioni y^ e y.y che sod- 

 disfano a tutte le condizioni della V e 2* parte del teorema, 

 e siccome si possono scegliere in infiniti modi le quantità 

 p\ p\. . .a', a", . . .e le loro analoghe per y.-,, si conchiude che 

 le funzioni y^ e y^ sono in numero infinito. 



Prima di passare alle altre parti del teorema , converrà 

 premettere queste proposizioni : 



I. Se due funzioni y^ e ?/, soddisfano rispettivamente alle 

 diseguaglianze 



ovvero alle 



dx ' '' ' ^^^ ' dx 



'^'^'^f{x.y,) , '^<f{x,y,). 



