EQUAZIONI DIFFERENZIALI DI PRIMO ORDINE 441 



e se per un valore speciale x„ di x esse sono eguali , la diffe- 

 renza ij^—y^i col passare di a; da valori minori a valori mag- 

 giori di x„, passa dal campo negativo al positivo. 



Infatti, per questo valore di x si ha evidentemente 



£l^>^^, ossia '1^^M>0, 

 dx dx dx 



perciò la differenza y^—y.^ è crescente per x^=x„, e siccome si 

 annulla per x = x^ , essa passerà dal campo negativo al positivo. 

 IL Se due funzioni ?/, e y.^ soddisfano alle condizioni 

 precedenti, e se per x=x^ si ha y^^y^-, per ogni valore di 

 x->x^ sarà y^ > y.-, . 



Infatti, lo si neghi; allora la differenza y^ — y.^ sarà per 

 qualche valore di x>x^ nulla o negativa. Suppongasi che essa 

 sia nulla, e sia x^ il più piccolo valore di x per cui essa si 

 annulla. Allora la differenza y^~y^ che non si annulla piìi nell'in- 

 tervallo {x^, x^) conserverà il segno costante positivo, perchè essa 

 è positiva per x = x^, se y^^-y.,, ovvero, se è nulla per x^=x„, 

 allora essa diventa positiva per x^x^, per la proposizione pre- 

 cedente. Ora questo è assurdo, perchè se per x^x^ le funzioni 

 y^ e?/., sono eguali, per x-<x^, la differenza y^^—y^ t^eve essere 

 negativa, in virtù della proposizione precedente. Dunque la dif- 

 ferenza y^—yo non potrà annullarsi per alcun valore di x:>x^, 

 e quindi nemmeno cambiare segno e diventare negativa. 



Ciò premesso, le funzioni y^ e ?/., , che soddisfano alle con- 

 dizioni 1* e 2" del teorema, cioè che per x = a assumono lo 

 stesso valore b, e che soddisfano alle diseguaglianze 



'hl>f{x,y,), '^<.f{x.y.), 



dx dx 



saranno tali che per ogni valore di x nell'intervallo («, A) 



Quindi, attribuito ad x un valore qualunque nell" intervallo 

 considerato, gli infiniti valori che può assumere y^ sono tutti 

 maggiori degli infiniti valori che assume y.^ ; perciò esiste un 

 limite inferiore Y^ dei valori di y^ , e un limite superiore Y^ 

 dei valori di y., ; e sarà 



Y > y 



1 ^"^ 2 



