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Saranno Y^ e Y^ due funzioni di x definite nell'intervallo {a, A) , 

 che per x=^a assumono il valore h. comune a tutte le y^ e y.^; 

 dico che ciascheduna di esse soddisfa air equazione differenziale 

 proposta. 



Invero, pongasi Y^^=F (x). Diasi ad x un valore particolare 

 a^o, e facciasi per brevità f[x,^, F (x^,)] = ìik Sia s una quantità 

 positiva piccola ad arbitrio ; si consideri la funzione 



cp (x) = F{xJ+{x — x^^ ) {m - e) . 



Questa per x = x^ assume il valore F (.r„) . e , per lo stesso 



dy 

 valore della variabile, soddisfa alla diseguaglianza -—<.f(x,y); 



clx 



quindi essa soddisferà pure a questa diseguaglianza per tutti i 



valori di x compresi fra x^ ed un certo valore x^^-x^. Ora 



ogni funzione y^ , che soddisfa alle condizioni della prima parte 



del teorema, ha per x = Xg un valore maggiore di F{Xo) = f{x^), 



perchè F{x^) è il limite inferiore dei valori delle funzioni y^ : 



cJy 



inoltre essa soddisfa alla diseguaglianza -~ >fix,yA: quindi , 



dx ^ 1 ■ 



per una proposizione dimostrata, sarà, per ogni valore di x nel- 

 rintervallo {x^, x^) y^'>(p{x); perciò F{x), cioè il limite infe- 

 riore dei valori di y^ non sarà minore di (p{x), F{x)^(p{x), 

 ovvero, sostituendo a ^ (x) la sua espressione , 



F{x) ^ F{x„) + {x - xj {m — £) , 



che si può scrivere 



F(x)-F(x) ^ 



— ^ — in — £ . 



D'altra parte, fissato ad arbitrio £>0, la quantità 

 H = m + E-f [x, F{x„)-\-a+ {m + s) {x - x, ) ] 



è funzione continua di a eà x, che per a = e x = Xo si ri- 

 duce ad £, quantità positiva. Quindi si possono determinare 

 p>0 e x^^x^,, in modo che per ogni valore di a<.p e per 

 ogni valore di x nell'intervallo {x„ , x^) , si abbia H:>0. Ora, 

 poiché F {x„) è il limite inferiore dei valori che assumono, per 

 x = x^,, le funzioni y^, si potrà determinare una di queste fun- 



