EQUAZIONI DIFFERENZIALI DI PRIMO OEDINE 443 



zioni che assuma, per x-=^x^, un valore F{x^-\-'j., ove a<.p. 

 8i consideri ora la funzione ó (a;) che nell'intervallo {<i,x^) coin- 

 cide colla funzione y^ or ora considerata, e che nell'intervallo 

 {x„,x^) valga 



ó {x) =F{i\, ) + « 4- {in + s) {x-xj . 



d'I 

 Sarà -^ — f (x, 'l)) = i/> ; quindi , nell' intervallo (x^ , x.) sarà 

 ax 



cH 



y-^- f{x,^). Adunque la funzione i^{x) soddisfa a tutte le con- 



dizioni del num. 1 del teorema ; ma F (x) è il limite inferiore 

 delle funzioni che soddisfano a quelle condizioni, perciò nel- 

 rintervallo {x^,x^) sarà F{x)<.^{x), ossia 



F {x)<:F{xJ} + « + {m + =) {x -X,). 



Questa diseguaglianza è soddisfatta qualunque sia a, che si 

 può supporre piccolo ad arbitrio ; quindi 



F (x) ^ F (x,) + {m + e') {x - X,) 



che si può scrivere 



F{x)-F{x)^ 



X — X 

 o 



Le diseguaglianze trovate 



^F(x)-F(x)^ 



X — X 

 o 



furono dimostrate per x:>x„; ma, a causa della loro simmetria 

 in X ed x„ , si può far astrazione da questa ipotesi. 

 Esse dicono appunto che 



F'{x^)z=i,i, 



ossia, sostituendo ad m il suo valore, che l'equazione differenziale 



F'{x)=f[x,F{x)] 



è soddisfatta per ogni valore x„ di x appartenente all'intervallo 

 (a, A). 



