444 GIUSEPPE PEANO 



In modo analogo si dimostra che Y., soddisfa alla stessa 

 equazione differenziale. (Del resto, ponendo ^• = — ^, le funzioni 

 2/j, Fj, ?/o, i'^, si scambiano rispettivamente in y^, J, , y^, Y^. 

 Così sono dimostrate la terza e la quarta parte del teorema. 



Siano ora y ^, y.-, e y tre funzioni di x, che per ^ = « as- 

 sumono il valore h, e che soddisfano alle condizioni 



g>A..), ^<f^.,. %=my). 



Per una proposizione dimostrata sarà nell'intervallo {a. A) 



quindi Y^ , limite inferiore delle funzioni ^^ , e Y^ > limite supe- 

 riore delle y^ , soddisfano alle condizioni 



che è la quinta parte del teorema. 



Ammessa puramente la continuità di f {x, y) non è possibile 

 il dedurre altre conseguenze oltre all'esistenza delle due funzioni 

 Yj e Y, che per x =: a assumono il valore h , che soddisfano 



all' equazione -— = f [x, y) , e le quali comprendono fra loro 



tutte le funzioni che soddisfano alla stessa equazione, e che per 

 x=:a assumono il valore h. Ma se si fa l'ipotesi del num. 6, 

 tutte queste funzioni coincidono. 

 Invero, dalle equazioni 



dx dx 



SI ricava 



ossia 



d{Y^-Y^) 



dx 



'^ = f{x, Y^)-f{x,Y,) , 



ove y è un valore medio fra Y^ e Y., . Suppongasi ora che per 

 tutti i valori di x compresi fra a e A, e per tutti i valori di y 



