EQUAZIONI DIFFERENZIALI DI PRIMO ORDINE 445 



compresi fra Y^ e I", si abbia f ' ^ (^, y) < Jf, ove M è una 

 costante finita: moltiplicando per Y^ — Y.^ che è quantità ^0, 

 si dedurrà 



dx 



^{Y-Y^:)M 



Si integri questa diseguaglianza; perciò si trasporti tutto nel 

 primo membro, e si moltiplichi per e~^^^, quantità positiva; si 



dedurrà 7 — ^ ^0. Dunque la funzione e~^^^{Y,— Y^ 



dx ^ V 1 > 



non è mai crescente nell'intervallo (a, A); essa è nulla per x^a. 

 perchè, per questo valore di x, Y^ q Y^ assumono il valore h\ 

 ed essa non può diventare negativa perchè e~^''^z>^ , e Y^^Y^. 

 Quindi essa è nulla per ogni valore di x, ossia le funzioni Fj e Y^^ 

 e tutte le funzioni fra esse comprese coincidono in tutto l'in- 

 tervallo (a, h) (^'). 



(*j Cauchy dimostrò pel primo l'esistenza d'una e d'una sola funzione 



ci V 

 y ài X che soddisfa all'equazione -f-'=-f\x,y] e che per ic=a assume un 



dato valore h, supposto però che f{x, y, sia una funzione monogena delle va- 

 riabili. Questa dimostrazione è stata semplificata da Briot e Bouquet (Journal 

 de l'Ecole Polytechnique , XXXVI Cahier, pag. 133). Nuove dimostrazioni 

 della stessa proposizione, senza introdurre la considerazione di funzioni mo- 

 nogene, ma con alcune restrizioni sulla natura della funzione f x,y), furono 

 date dai sigg. Lipschitz, Hoìjel, Gilbert, ecc. 11 sig. Vito Volterra (Gior- 

 nale di Matematiche, voi. XIX} generalizzò questi risultati, lasciando tuttavia 

 in dubbio la verità del teorema, supposta solamente la continuità di f(x, y). 

 Nella presente Nota si ha anche la risposta a tale questione. 



