RICERCHE SULLE RIGATE ELLITTICHE 631 



spazi U„_p e V„_p vi sia una corrispondenza univoca tale che 

 esistano due gruppi corrispondenti di n punti di esse i quali stiano 

 in due S„_p_, e siano proiettivi. Si potrà allora con un'omo- 

 grafia trasformare F„_^ , e quindi B", in modo che gli n punti 

 considerati ài B" vadano a coincidere coi corrispondenti di A", 

 e V„_p vada a stare in uno stesso S„_p^, con U„_p senza però 

 coincidere con questo. A" e la JS" trasformata verranno ad 

 essere in corrispondenza univoca con n punti uniti ( neir>S'„_.^_, 

 d"intersezione dei loro spazi U„_p, Vn-p)'- le rette congiungenti 

 i punti corrispondenti genereranno perciò (n. 1) una rigata d'or- 

 dine n e genere j) appartenente alV S„_p^^, la quale sarà quindi 

 (n. 2) un cono. La corrispondenza tra A" e B" era dunque 

 proiettiva, vale a dire : La condizione necessaria e sufficiente 

 perchè una corrispondenza univoca tra due curve normali 



d'ordine n e genere p < - di due Su_p sia proiettiva è che 



Li 



esistano risp. in esse due gruppi corrispondenti di n punti 

 situati in due Su_,,_, e proiettivi. 



In particolare ponendo p=^\ e notando che due gruppi di 

 n punti situati in due S„_^ sono sempre (in generale) proiettivi, 

 abbiamo che se due curve normali ellittiche d'ordine n sono 

 in tale corrispondenza univoca che vi siano due gruppi cor- 

 rispondenti di n punti appartenenti rispettivamente a due S„_j, 

 quella corrispondenza sarà proiettiva (*). 



4. Proponiamoci ora di dimostrare che tutte le rigate el- 

 littiche d'ordine n, le quali non siano coni e quindi ( n. 2 ) 

 appartengano a spazi di meno che n dimensioni, sono proie- 

 zioni di rigate d'ordine n appartenenti ad S„_, . A tal fine 

 stabiliremo anzitutto la seguente proposizione : 



Jyi^ S„_^ il cono ad n — r dimensioni che proietta da un S^.^.,, 

 tina curva ellittica qualunque Y"' d'ordine n — 1 appartenente ad 



(♦) Alla fine della mia Nota Remarques sur les trans formations unifor- 

 mes dàs courbes elliptiques en eltes-mémes (iMath. Ann. XXVll, p. <^96-3l4\ 

 procedendo in ordine inverso a quello ora tenuto, stabilii direttamente questa 

 proposizione relativa alle curve ellittiche (mediante la loro rappresentazione 

 parametrica) e ne trassi l'altra che le rigate ellittiche d'ordine n appai-tenenti 

 ad S,,i sono coni. — Rimanderò a quel lavoro per alcuni risultati sulle curve 

 ellittiche di cui ci serviremo e per le citazioni relative alle quali citazioni 

 sono però da aggiungere, per quanto riguarda le trasformazioni univoche 

 delle curve ellittiche normali di 3' e 4" ordine in se stesse, quelle dei noli 

 lavori del sig. Schur pubblicati nei Math. Ann., voi. XVII p. 1, e voi. XX 

 p. 25^,. 



