RICERCHE SULLE RIGATE ELLITTICHE 637 



Ogni curva semplice di F d'ordine -< >i è intersezione par- 

 ziale di F con un .S'„_^ ed è quindi ellittica. Possiamo anzi ve- 

 dere facilmente clie una curva qualunque di F, sem])ìice o com- 

 posta, d'ordme xn appartiene ad un S,_, ; giacché essa non 

 appartiene certo ad un S^, altrimenti (essa e quindi) F sarebbe 

 razionale; e non sta in un *S'„_^, altrimenti per questo ed n — v — \ 

 punti di F si potrebbe condurre un S„_^ contenente quella curva 

 e le generatrici passanti per quei punti, cioè una curva composta 

 d'ordine n — 1 e allora gli <S'„_^ passanti per queir/S'„_3 taglie- 

 rebbero F in una generatrice variabile e quindi ancora F sa- 

 rebbe razionale, — Supponendo in particolare che la curva con- 

 siderata sia semplice avremo : ogni curva semplice di F d'ordine 

 <n è una curva ellittica' normale. 



Anche le curve semplici d" ordine n contenute in F, siano 

 esse sezioni di F con degli S„_^ , ovvero appartengano ad S„_, , 

 sono ellittiche. Dunque : le curve di qualunque rigata ellittica 

 d'ordine n [appartenente a qualunque spazio) i cui ordini non 

 superano n sono ellittiche; quelle di ordini <C n incontrano 

 ogni generatrice in un sol plinto. 



li. L'ipotesi che su F esista un punto doppio da cui par- 

 tano due generatrici conduce facilmente a conchiudere l'esistenza 

 di una linea doppia : vediamo dunque come possa F avere una 

 tal linea. In ogni S„_^ non potrà esservi più di un punto doppio 

 di F, poiché altrimenti la curva d'intersezione con questa sarebbe 

 razionale : quindi se F ha una linea doppia , questa sarà una 

 retta. Ora se una retta doppia di F non fosse direttrice, cioè 

 incontrata da tutte le generatrici, conducendo un S„_^ per una 

 di queste si otterrebbe come intersezione residua con F una 

 C""" con punto doppio, il che é impossibile. E se poi quella 

 retta doppia fosse nello stesso tempo direttrice e generatrice, 

 allora per ogni suo punto passerebbe una sola generatrice va- 

 riabile, sicché F sarebbe razionale. Dunque se F ha punti doppi, 

 essa ha una retta direttrice doppia, per ogni punto della quale 

 passano due generatrici variabili. 



Una tal rigata F non contiene alcuna C dove v < w — 2 , 

 poiché altrimenti per I'aS', ., di questa e la retta doppia passe- 

 rebbe un /S',,., contenente F. Essa contiene invece infinite C"~% 

 le quali si ottengono tutte come intersezioni residue della rigata 

 cogli /S'„_, che passano per una coppia fìssa di generatrici uscenti 

 da uno stesso punto della retta doppia (senza passare per questa), 



