RICERCHE SULLE RIGATE ELLITTICHE 639 



I — (- 1 , la quale può in particolare scindersi in un certo numero 



di generatrici ed una curva semplice d'ordine inferiore. Però se 



il 

 n è pari si trova facilmente su F una curva d'ordine — o mi- 



ù 



n 

 nore. In fatti, supposto n pari, -—1 generatrici fissate ad ar- 



bitrio staranno certo in un /S'„_3 e gli *S''„_^ passanti per questo 



n 



tagliano ancora J^ in C^ aventi comuni i 2 punti in cui in- 



n 

 centrano quell' >S'„_3 fuori delle - — 1 generatrici : tra quegli 



Li 



S„_^ i due che passano risp. per le generatrici uscenti da quei 



n 

 2 punti contengono curve semplici di F d'ordine - o minore. 



Li 



Adunque indicando con m l'ordine minimo delle curve di F, sicché 

 C" indicherà una di quelle curve minime, sarà 2<:w^/ — ^ — . 



Ci 



Vedremo che esistono effettivamente rigate ellittiche F per cui 

 ììi ha tutti i valori compresi tra quei limiti, e vedremo ciò de- 

 ducendo dallo studio delle loro proprietà la loro costruzione (*). 



n — l 

 13. Sia anzitutto ììi^I-—- — . In tal caso F ha evidente- 

 mente una sola curva minima C" e nessun'altra curva d'ordine 

 <;« — m : orbene dimostriamo che essa conterrà allora infinite 

 C"~"'. Se esiste su F una C"~"', un S,,_^ per essa taglia ancora F 

 in m generatrici incontranti la C"' nei suoi ììi punti d'interse- 

 zione con queir >S'„_^, cioè in ììi punti associati; e viceversa, 

 fissate ad arbitrio ni generatrici incontranti la C"' in un gruppo 

 di punti associati, qualunque C"~"' di F starà con quelle in un 

 S„_^ . Quelle ni generatrici fisse passando per dì punti di un 

 S„t_j, staranno in un S^,„_^ ; e gli apparterranno (giacché se stes- 

 sero in un *S'^„,_3 , per questo e la C" passerebbe un /S'j„,_, 

 contenente una curva composta d'ordine 2ìn , il che è impossi- 



C) In modo affatto analogo si giunge al risultato seguente: ogni rigata 

 d'ordine n e genere 2 (di uno spazio qualunque) contiene almeno una curva 



il cui ordine è < I -t- 1 , sicché per tali rigate V ordine delle curve minime 



semplici varia dal valore 4 a quel limite superiore. 



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