RICEKCHE SULLE RIGATE ELLITTICHE G45 



ìlfUìie proprie là. 



\7. E importante veder bene, qualunque sia la specie di 



F, a quali condizioni deve soddisfare un numero 7c affinchè h 



generatrici di F siano indipendenti, cioè appartengano ad un 



'S'^^_,. Indicando sempre con ìì/ l'ordine delle curve minime, 



n — l 

 e supponendolo anzitutto < è chiaro che la C" e k ge- 



neratrici appartengono ad un >S',„ ^ ^ _ , se /.•<« — ììi, cosicché se 

 inoltre lì':>m le h generatrici non sono indipendenti; esse ap- 

 parterranno allora appunto ad un ^S*,,, _^ ;; _ , contenente la C"\ 

 Se l-=vì e le m generatrici incontrano la C" in ììi punti 

 associati , esse non saranno indipendenti, ma apparterranno ad un 

 *^2»i— 2 (v. n. lo). Se poi /,•< ìli e, ove fosse precisamente J: = ')ì}, 

 se i punti d'incontro delle l- generatrici con la C" non sono 

 associati, le Ji generatrici sono indipendenti, poiché se stessero 

 in un S^^_^, siccome i k punti comuni a questo ed alla C" 

 sarebbero indipendenti , vi sarebbe un xS'„,^;_^ contenente la C" 

 e le /•' generatrici, il che è impossibile (n. 10). — Nel caso 



■il 

 di in^=- (v. n. 15) m generatrici qualunque sono indipendenti, 



tranne se incontrano una C" in punti associati, che allora, secondo 

 che si ha la F o la 2' delle due specie di F considerate in 

 quel caso , quelle generatrici appartengono ad un S„^^ o ad 

 un 'S'„_3; quindi, per l<:m , /.■ generatrici sono sempre indi- 



pendenti. — Quest'ultimo fatto vale anche nel caso di ni =z 



(v. il principio del n. 16). — Concludendo: y6Vk<ra, k gene- 

 ratrici di F sono sempre indipendeìifi , cioè apjìarteìigono ad 

 ^>* S,i;_, . Se k=m, esse sono ancora indipendenti in generale 



lì 

 per m< - ed appartengono ad un S,,._, passante per la curva 



LI 



minima; però se esse incontrano una curva minima in punti 

 associati esse appartengono ad un Si,„_,, e solo se inchiesta 

 stessa ipotesi si ha la 2* delle due specie corrispondenti ad 



n 

 m^- esse appartengono ad un S ^,„_-^. Se k>m le k genera- 

 trici non sono piti indipendenti ed appartengono ad uno spazio 

 contenente ogni curva minima. 



