RICERCHE SULLE RIGATE ELLITTICHE 647 



Una rigata ellittica qualunque cVordine n dotata di curve 

 minime d'ordine m contiene, oltre alle curve già considerate 

 nei n' 14, 15, 16, una serie quadratica di oo^''~" curve 

 ellittiche d'ordine [j. per ogni valore di [j. minore di n 

 e maggiore di n — m, escludendo però nel caso delle rigate 



aventi infinite curve minime d'ordine — il valore p, = - -f- 1. 



In tal modo si hanno tutte le curve d'ordine <Cn della rigata. 

 Vi sono poi inoltre su questa co"""' curve ellittiche d'ordine 

 n incontranti ogni generatrice in un sol punto e formanti una 

 serie lineare^ sì che per n — 1 punti qualunque della rigata ne 

 passa in generale una sola, mentre due qualunque di esse si ta- 

 gliano in n punti pei quali ne passa un fascio. Ogni curva 

 d'ordine -Cn della rigata è tagliata da tutte quelle curve d'or- 

 dine n nella serie dei suoi gruppi di punti associati. 



i9. Per conoscere tutte le curve d'ordine '=^ n situate 

 sulle rigate ellittiche d' ordine n ci resta da cercare se su 

 F oltre alle curve d'ordine n già considerate, sezioni di F 

 cogli /S'„_2, non vi siano anche curve d'ordine n appartenenti 

 ad 'S'„_,, cioè ellittiche normali, vale a dire delle C". Si vede 

 anzitutto facilmente (valendosi ad esempio della proposizione nota 

 che ogni C" è l'intersezione completa di infinite il£,/_ ^ ) che , se 

 vi è su jP una C", questa dovrà esser incontrata da ogni ge- 

 neratrice di F in due punti, sicché su essa le generatrici di F 

 determineranno una corrispondenza univoca. Ora {*) in una C" 

 le rette congiungenti punti che si corrispondano in una corri- 

 spondenza univoca formano una rigata ellittica d'ordine n nel 

 solo caso in cui la corrispondenza univoca sia una corrispondensa 

 di 2^ specie (involutoria, cioè) principale e la rigata ellittica che 



in tal caso si ottiene ha per curve minime, se. n è pari, due C ^ 

 distinte punteggiate non proiettivamente dalle generatrici, e se n 



.... ,.,.»-! 



e impari (non potendo contenere una curva d ordine < — - — , 



Li 



poiché altrimenti sulle generatrici poste in un S ,^_^ passante per 



>' + 1 . 

 questa si avrebhe un numero > — ^ — di coppie di punti della C") 



infinite C * ; essa ha poi sempre un solo invariante , cioè 

 quello della C". 



(*) Veggasi il mio lavoro sulle curve ellittiche già citato. 



