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Supponiamo anzitutto n pari. Noi vediamo che allora F 

 non contiene in generale alcuna 0", e solo quando F appar- 

 tiene alla specie più generale, cioè ha due sole curve minime 



il/ 



distinte d'ordine - , essa, ove i suoi invarianti soddisfino ad una 



certa condizione , viene a contenere una C". Essa ne contiene 

 anzi in tal caso una serie lineare co ' , la quale si ottiene da 

 una delle C" stesse trasformandola colle oo' omografìe aventi 

 per assi (di punti doppi ed S,,_^ doppi) gli S„ cui apparten- 



gono le due C '^ {*). Da tutto ciò si è condotti alla proposi- 

 zione seguente : 



Le rigate ellittiche d'ordine pari n non contengono in ge- 

 nerale altre curve ellittiche d'ordine n che le oo""' già consi- 

 derate; solo se una tal rigata ha due sole curve minime distinte 



n 

 d'ordine - essa può particolarizsandosi venir a contenere una 



Li 



curva ellittica d'ordine n incontrante in due punti ogni gene- 

 ratrice. Allora essa contiene oo ' tali curve d'ordine n (tra cui 

 si possono anche considerare le due curve minime contate dop- 

 piamente) Sì che per ogni punto della rigata ne passa una 

 sola e che sulle varie generatrici le coppie di punti d'interse- 

 zione con quelle curve costituiscono varie involuzioni proiettive 

 (coi punti doppi sulle curve minime). 



Poniamo ora che n sia impari e che F appartenga alla 



. n -\- \ 

 specie più generale. Le oo^ curve minime d'ordine — -~ che P 



conterrà in tal caso formeranno evidentemente una serie ellittica 

 (poiché corrispondono univocamente ai punti in cui incontrano una 

 qualunque di esse). Facendo corrispondere in questa serie due curve 

 qualunque che s'incontrino su una generatrice fissa di F si ha 

 una corrispondenza di r"" specie, e così le oo'^ generatrici danno le 

 oo ^ corrispondenze di V specie. Invece considerando nella stessa 

 serie di curve una corrispondenza di 2^ specie principale e ri- 

 cordando che questa , pure essendo involutoria come tutte le 



(*) Ciò si accorda col fatto che tanto una C" (n. 7) quanto la rigata F 

 più generale dipendono da w* parametri; sicché, se n è pari, F deve soddi- 

 sfare ad una condizione affine di contenere una C", appunto perchè se ne 

 contiene una ne contiene infinite. 



