FUNZIONI DI INA VARIABILE COMPLESSA 653 



Credo opportuno di qui riferire questo teorema. 



Se una variahiìe complessa w è legata in tal guisa alla 

 variahile complessa indipendente z, die in un certo campo T 

 per la z, dove la prima resta monodroma, continua e finita, 

 l'integrale 



[tv dz , 



esteso all'intero contorno di una porzione qualsivoglia di T 

 risulta sempre nullo, allora w è funzione di z dovunque in T. 

 Se T non è semplicemente connesso lo potremo rendere tale 

 con un certo numero di tagli, o più generalmente, imaginìamo per 

 mezzo di tagli di avere scomposto T in un certo numero di 

 parti tutte semplicemente connesse. Sia C una di queste parti 

 e ^ un punto fisso nell'interno di C. Allora, dinotando con 

 z un punto variabile di C, l'integrale 



= 1 tv d z 



W=\ u 



esteso a partire da ?„, lungo una linea qualunque tracciata in 

 C, fino al punto z, è una funzione di z. Infatti: il valore di 

 W è indipendente dalla linea d'integrazione, giacche estendendo 

 l'integrazione ad una linea chiusa si ottiene per supposto sempre 

 zero; inoltre, essendo tv continuo, si ha senz'altro: 



dW 



— — =- IV . 



az 



Dunque W e in C una funzione monodroma, continua e fi- 

 nita, e questo basta per concludere che essa ammetterà per de- 

 rivate di tutti gli ordini altrettante funzioni monodrome, continue 

 e finite. In pai'ti colare w sana una tale funzione. Si vede cosi 

 che w è funzione di z dovunque in T. 



Consideriamo ora una variabile complessa dipendente w de- 

 finita come limite di un espressione analitica. Per esempio : 



tv {z) = lim. '^ («j , «2 , ... ; z) 



dove le n sono, per fissare le idee, numeri interi e positivi che 

 crescono indefinitamente secondo l'ordine naturale: 



1, 2, 3 



