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La condizione necessaria e sufficiente affinchè il limite con- 

 siderato IV esista è notoriamente (^'') che, assegnato un arbitra- 

 riamente piccolo a, sia possibile di determinare certi numeri 

 iVj , iV, , per le n^ , n.^ .... tali che risulti : 



qualunque sieno gli interi positivi : 



Pi > Qi '^ P2 ^ ^2 '^ 



Se inoltre, facendo variare a piacimento la z nei campo 



T si possono ancora trovare dei numeri fissi N^ , N, , 



che godono della proprietà indicata per ogni valore della z, 

 allora si dice che V espressione © (nj , n, , ; z) è unifor- 

 memente convergente in T. 



Ciò premesso, coli 'uso del teorema inverso di quello di Cauchy 

 si dimostra facilmente il seguente teorema generale : 



Se le espressioni cp (Uj, n,, ... . ; z) restano monodrome , 

 continue e finite in un campo T, almeno per tutti i valori delle 

 n^ al di là di certi numeri finiti, e se inoltre in T l'espres- 

 sione (D (Up n. ^ , . . . • ; z) converge tcniformemente, allora 



w =rlim. (D {n^ , 7?, , \ s) 



n zz 00 



rappresenta una funzione monodroma, continua e finita della 

 z neir interno di T. 



Si vede molto facilmente che nelle condizioni indicate la va- 

 riabile complessa iv varia con continuità al variare della z. 



Infatti, scelti per N^, N^, N^ numeri opportunamente 



grandi, si potrà avere: 



iv{z) = <d{N^,N^^, ;'2') + ^yv,..Y,,...(^~) •.•(!), 



dove 



I 1 2 lo 



qualunque sia s nel campo T e comunque piccolo siasi as- 

 sunto £ . 



(*) Cfr. P. Du Bois-Reymond, Die allyemeine Functionentheorie (Tùbingen, 

 1882), a pag. 6 e 258. 



