FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA 655 



Allora essendo c{N^, N^, ; s) una funzione continua 



si può sempre assegnare un limite superiore r al modulo dcl- 

 raccrescimento Ji della s, in guisa che per \Jt\<r risulti: 



e così per j/^j <.r avrà sempre luogo la disuguaglianza 



E con questo la continuità di tv resta provata. 



Se s designa la lunghezza del contorno di una porzione qual- 

 siasi di T, che supponiamo finita, integrando lungo tutto questo 

 contorno dalla (1) si ha ovviamente: 



IV d. 



ossia 



s 



.)>'• 



<3 



ma £ è arbitrariamente piccolo, dunque 



{tvd0 = lim. <p (n^ , n^ , . .\ s) dz = ^ . 



Applicando alla iv il teorema reciproco di quello di Cauchy, 

 si conchiude immediatamente il teorema generale enunciato. 



È (pulsi superfluo di notare che questo teorema contiene come 

 casi particolarissimi i noti teoremi sulle serie e sui prodotti in- 

 finiti {;'). 



La considerazione degli integrali curvilinei conduce a teoremi 

 importanti , che gettano molta luce nella nostra questione. 



Ammettiamo solamente che sul cotitorno del campo T, nel- 

 l'interno del quale le f , almeno per valori delle «, al di là di 

 certi limiti finiti, sono funzioni monodrome, continue e finite, 



(*) Cfr. : Weierstrass, 1. c; 



Mittag-Leffler, Sur la représentalion analytique des fonctions mono- 

 gènes uniformes. Acta mathematica, t. IV, fase. 1 , p. 31. 



Atti R. Accail. - Parte Fisica — Voi. X\l 43 



