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V espressione ^ (n^, n,, ; z) sia uniformemente convergente. 



Questo basta per dimostrare il teorema importante che: 



lim. 9 [n^, Wg, ; s) 



rappresenta una funzione wonodroma continua e finita dapper- 

 tutto nelVinterno di T. 



Designando con x il valore variabile della 2 sul contorno di 

 T e partendo da un'equazione analoga alla (1), si dimostra con 

 tutta facilità che per un punto s interno di T si avrà : 



Jiv{x)dx i^{n^,n^,...',x)dx 



dove p. indica un intero positivo qualunque e lintegrazione si 

 estende a tutto il contorno di T. 



Ma per p. = si ha, per un notissimo teorema di Cauchy : 



\ \ivix)dx ^. ^ . 



- — . I = hm. ip {n, , n, , ... ; z) , 



2t:iJ x — z „^„' 



ossia: V espressione cp (n^, n, , ; z) è convergente anche per 



tutti i punti interni del campo T e convergente uniformemente. 



Posto : 



w{z) r=lim. CP [n^ , w, , ...\ s) 



sarà : 



, . 1 [ iv(x)dx 

 IV {z) 



1 iiv {x) e 



'Tlij X — , 



ossia w {z) è una funzione monodroma, (continua e finita (*). 

 Nello stesso modo per p, qualunque si conclude : 



d^w{z) y d^ 



(*y L'essere w{x] continua e finita e |a; — *]>0 basta a legittimare l'as- 

 serzione qui fatta, ma non è lecito di concluderne che, quando la z si accosta 

 al contorno, debba essere: lim.M; (?~ =xu{x). Invero i valori di una funzione 



di variabile complessa al contorno di T non possono essere n'usuriti arbitra- 

 riamente- 



