FUNZIONI DI UNA VARIABILE COMPLESSA 657 



e tutte queste esiìressioni sono uniformemente convergenti nel- 

 r interno di T a distanza comunque piccola dal contorno. 



Di qui segue iu particolare clie qualunque serie di funzioni 

 tutte monodrome, continue e finite in un campo T, sul contorno 

 del quale la serie converge uniformemente, rappresenta una fun- 

 zione monodroma, continua e finita nell interno di T e che quanto 

 alla differenziazione ed all'integrazione la serie può essere trattata 

 come le somme di un numero finito di termini (*). 



Del pari per un prodotto infinito, i cui fattori elementari 

 sono funzioni monodrome, continue e finite dovunque in T ed 

 il quale converge uniformemente sul contorno di T, si può con- 

 cludere che: nelV interno delio stesso campo T il prodotto in- 

 finito converge uniformemente e rappresenta una funzione mo- 

 nodroma, continua e finita. 



Sia 



iv=nf„{z) 



n = 1 



un prodotto infinito nelle condizioni testé definite ; allora appli- 

 cando il teorema generale espresso dalla formula (2) abbiamo: 



sempre quando w e le /j [z) siano tutte diverse da zero : e però 



* /■'• 

 la serie 1 — dovrà certamente convergere uniformemente (^'*). 



(*} Cfr. Volterra, Sopra alcune condizioni caratteristiche delle funzioni 

 di una variabile complessa. Annali di matematica, S. II, t.Xl, al § X]X. 



**) Si noti che per la nostra definizione di convergenza può essere: 

 n' = 0, quand'anche tutti i fattori elementai'i siano diversi da zei'O Ma pei 

 prodotti infiniti conviene lestringei'e la definizione in modo da evitare il 

 linnite zero, il che può farsi molto agevolmente per un'espressione infinita 

 qualunque, definendo la convergenza per mezzo della condizione: 



l'i' "0+/',' 



(Cfr. Du B)is- Key.moN!), le, a pag. 264). 



-= l 



