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Infine , la considerazione della convergenza uniforme delle 

 successive ridotte per una frazione continua ci condurrà ad enun- 

 ciare anche per queste espressioni un teorema analogo. 



Il nostro processo di dimostrazione del teorema generale non 

 richiede in fondo che l'integrabilità dell'espressione limite sul con- 

 torno del campo T, cioè che resti valida la formula: 



r!!i±^=lim. f' 



J X — Z n-c^J 



dx 



Orbene, si riconosce agevolmente che il teorema può essere 

 esteso ; per esempio, a tutti quei casi in cui la convergenza 

 uniforme della f venga a mancare in un gruppo di punti di 

 1' specie (*) del contorno. 



Ma se nel campo T le 9 [n^ , n.-,, ... ; z) anche per va- 

 lori grandissimi delle n^ , n.-, . . . non sono tutte finite, non si 

 possono più trarre le conclusioni precedenti ed allora il limite 

 può mancare, oppure rappresentare una funzione discontinua. 



Per esempio: la ben nota serie 



'"■(^'^Éa 



nz 

 lim. 



{l+iz){l-\-{i-\)z) „_^„ \+nz 



converge uniformemente lungo qualsivoglia contorno sul quale non 



n z 



cade il punto ^=0. ma il polo dell'espressione al cre- 



^ \ -\-nz 



scere indefinito di n si accosta indefinitamente al punto ^ = 0. 

 Sicché la serie dianzi ricordata rappresenta certamente una fun- 

 zione mouodroma, continua e finita in qualunque campo in cui 

 non cada il punto 0— 0. E questo è notissimo, giacche iv è 

 sempre eguale ad 1 al di fuori del punto ^ = , ma in questo 

 punto essa è discontinua ed assume il valore 0. 



Differenziando termine a termine la serie precedente, se ne 

 ottiene un'altra dovunque convergente tranne il punto ^ = 0, 

 dov'essa diverge. 



Può ancora presentarsi il caso che la o {n^, n^, ; z) 



ammetta parecchi campi di convergenza uniforme senza alcuna 



(■) Cfr. DiNi, Fondarli finti per la teorica delle funzioni di variabili reali 

 (Pisa, 1878) , sovratutto a proposito dell'integrazione per serie (p. 384 e seg.). 



