BULLI CONICHE ECC. 7 



drilatero, di cui due lati sono disposti secondo le rette dato so t: 

 e provano inoltre che od i detti sei quadrangoli sono tutti reali, 

 oppure sono reali due soli di essi ed immaginari gli altri quattro, 

 per la ragione che, nel fascio di centro I, i raggi s e t o non sono 

 separati dagli elementi di alcuna delle tre coppie di rette I A . [B; 

 IC. 1 A : 1 B, I C, oppure sono separati dagli elementi di due di 

 esse coppie, e non separati dagli elementi della terza rimanente. 



Poiché, come si è detto nel 1" alinea del n° 2, ognuno dei 

 quadrangoli suaccennati determina due coniche passanti pei punti 

 A. B, C e tangenti alle rette s. t. parrebbe che. sei essendo, in 

 generale, quei quadrangoli, dodici fossero le coniche soddisfacenti 

 alle condizioni volute. Ma è facile il dimostrare che di tali co- 

 niche . distinte fra loro , ve ne hanno solo quattro. Ed infatti . 

 quattro coniche distinte, le quali abbiano tre punti e due tan- 

 genti comuni, danno origine , colle loro intersezioni due a due. 

 a sei quadrangoli distinti, che hanno comuni tre loro vertici, e 

 di ciascuno dei quali il triangolo diagonale è lo stesso che quello 

 di un quadrilatero avente per due suoi lati le due tangenti co- 

 muni alle quattro coniche : e di tali quadrangoli fu dimostrato 

 teste che non ve ne sono più di sei. 



Perciò, per costruire le quattro coniche, che passano per A.B.C 

 e toccano le rette s e t. basta ricorrere ad uno solo dei tre fasci 

 in involuzione di centro I, dei quali si è parlato, a quello, p. es. t 

 che determina i quadrangoli ABCD, AB CD', poiché le quattro 

 coniche reali od immaginarie, generalmente distinte fra loro, che 

 toccano la retta s, e passano pei quattro vertici dell'uno, o del- 

 l'altro di quei quadrangoli . sono quelle sole . che risolvono il 

 problema. 



Tuttavia, se si impiega ancora un secondo dei fasci in invo- 

 luzione suaccennati, quello, p. es., che determina i quadrangoli 

 AB CE. ABCE'edi corrispondenti quadrilateri s t w x, s t w x . 

 si avranno, per ognuna delle quattro coniche a descriversi, cinque 

 punti e sei tangenti: cioè le quattro coniche domandate saranno 

 rispettivamente circoscritte ai pentagoni ABCDE. ABC DE', 

 AB C DE . AB C D' E' ed iscritte nelle figure di sei lati stu r ir x , 

 stuviv'x', stti'v'ivx, stuv'ir'x. Servendosi anche del terzo dei 

 suddetti fasci in involuzione, determinando cioè ancora i quadran- 

 goli ABCF, ABCF' ed i corrispondenti quadrilateri styz, 

 styz , si avrà per ognuna delle quattro coniche un sesto punto F 

 od F' ed un'altra coppia y,z od y , e di tangenti. E precisamente, 



