8 Q. BRUNO - SULLE CONICHE ECC. 



quando si convenga che i punti D, E, F sieno tali, che le rette 

 AD, BE, CF dividano rispettivamente i segmenti BC, CA, AB, 

 ciascuno in due segmenti sottrattivi, il punto F e le due tangenti 

 y e z apparterranno alle coniche circoscritte ai pentagoni AB ODE, 

 ABC DE', ed il punto F' colle tangenti y e z apparterranno alle 

 coniche circoscritte ai pentagoni ABCD'E , ABCDE'. 



Da quanto fu esposto si ricava inoltre che le quattro coniche, 

 di cui si tratta, sono tutte reali quando ciascuno dei tre fasci 

 in involuzione più volte nominati ha i suoi raggi doppi reali. Se 

 questa circostanza non arriva, uno (uno solo) di essi fasci avrà an- 

 cora reali i suoi raggi doppi, esisteranno ancora, come fu già avver- 

 tito, due quadrangoli, che hanno ciascuno tre suoi vertici in A, 

 B e C ed il triangolo diagonale comune con un quadrilatero for- 

 mato sulle rette set come due suoi lati, ma non vi sarà alcuna 

 conica reale, che soddisfi alle condizioni imposte. 



6. Quando un punto dato è un fuoco comune a più coniche, 

 questo si può riguardare come il punto di concorso di due loro 

 tangenti date comuni : epperò il metodo esposto precedentemente 

 serve alla costruzione delle coniche, che hanno il punto dato I 

 per un loro fuoco e passano pei tre punti dati A, B, C. Queste 

 coniche sono quattro , sempre reali : e se sia D il punto diffe- 

 rente da A, B, C, che è comune a due qualunque di esse, e D' il 

 punto pur differente da A, B, C, che è comune alle altre due , 

 la congiungente i punti D e D' passa pel fuoco comune I delle 

 quattro coniche. Le stesse coniche, considerate due a due, hanno 

 comuni, oltre le tangenti immaginarie condotte pel loro fuoco I, 

 due tangenti, esse pure immaginarie, ma concorrenti in un punto 

 reale : se dicasi L questo punto di concorso relativo a due qua- 

 lunque delle quattro coniche ed L' il punto analogo relativo alle 

 altre due, la congiungente L con L' passa per uno dei tre punti 

 dati A, B, C. 



7. E poi manifesto che le proposizioni dimostrate e le co- 

 struzioni eseguite hanno le loro correlative riflettenti le coniche, 

 che passano per due punti dati e toccano tre rette date. 



