12 Q. BRUNO 



quadrilatero circoscritto ad S, che è determinato dai detti punti 

 M, Ne dalle rette a ed a" , non giacciono in uno stesso piano (1). 

 5. Esaminiamo alcune circostanze particolari, che possono 

 arrivare nel caso, in cui la quadrica S sia rigata. 



1° Se una, a, delle due rette date a, a' sia una gene- 

 ratrice rettilinea di S, il punto H' appartiene alla sezione fatta 

 in S dal piano H'«" ed i due punti B e C si confondono fra 

 loro e col punto H' : i piani A' A" B ed A' A" C si riducono 

 perciò tutti due al piano A.' a, e quindi i punti, che abbiamo 

 chiamato M ed N, sono posti, o sopra a, o sulla generatrice ret- 

 tilinea di S, che passa per A" ed è di sistema contrario ad a'. 



2° Quando a ed a" sono generatrici rettilinee di S ap- 

 partenenti allo stesso sistema, i punti M ed N sono pienamente 

 indeterminati sulla S, poiché due generatrici rettilinee arbitrarie 

 di questa superficie, le quali sieno di sistema contrario a quello 

 delle a ed a", formano con queste due rette ultime nominate 

 un quadrilatero circoscritto alla quadrica. 



3° Le rette a, a" sieno comunque condotte per i punti 

 A ed A' nei piani, che toccano S nei punti ora detti, ma questi 

 punti A' ed A' sieno posti su d'una stessa generatrice rettilinea g 

 della quadrica. I piani A'A'B, A'A'C passano per g, e se- 

 cano S tutti due secondo questa generatrice g , ed inoltre 

 ciascuno di essi secondo un'altra generatrice h o h di sistema 

 diverso da quello della g. I punti in cui li e /.• incontrano la g 

 sono armonici coniugati rispetto ad A' ed A": ed i punti M, N 



(1) Se i punti M ed N giacciono in uno stesso dei due piani A'A"B, 

 A'A"C, il punto di contatto colla quadrica è posto per ciascuno dei quattro 

 lati del quadrilatero, o per due di essi lati, o per nessuno di essi, sul pro- 

 lungamento del segmento compreso fra i vertici , che stanno sul lato con- 

 siderato: se invece i punti M ed N sono collocati l'uno nell'uno, l'altro 

 nell'altro dei piani A'A"B, A'A' f C, i lati del quadrilatero, che toccano la 

 quadrica in un punto del loro prolungamento, sono sempre tre, oppure uno 

 solo. 



A convincersene basta proiettare il quadrilatero , parallelamente alla 

 congiungente i punti A', A", sopra un piano qualunque. 



L'errore in cui è caduto il Poncelet nel dedurre la proposizione, che 

 io mi proposi di correggere, proviene dall'avere egli creduto (vedi nota alla 

 pag. 3 j che in nessun quadrilatero circoscritto ad una quadrica vi potesse 

 essere un numero impari di iati , che toccassero la superficie in un punto 

 del loro prolungamento. 



