16 G. BRUNO 



p. es. A' ed A" sono posti su d'una medesima generatrice ret- 

 tilinea g di S ed il punto A, sarà un punto qualunque delle 

 seguenti tre generatrici rettilinee della quadrica: la generatrice g, 

 la generatrice h, di sistema contrario a quello di g, che passa 

 per A, e la generatrice pure di sistema opposto a quello, di cui 

 fa parte la g, e secante questa g nel punto armonico coniugato 

 del punto lig rispetto ai punti A' ed A". 



5° Nel caso in cui S sia un cono , il punto A, può es- 

 sere preso arbitrariamente sulla quadrica, ossia, qualunque sieno 

 quattro punti A, A', A", A, di un cono di secondo ordine, 

 esiste sempre un quadrilatero avente i suoi quattro lati tangenti 

 in essi punti alla superfìcie. Se infatti, si immaginano i piani 

 tangenti in quei punti alla quadrica, ed i fasci di raggi giacenti 

 nei detti piani, aventi i centri nei punti dati, e tali che il primo 

 di essi sia prospettivo al secondo, il secondo al terzo ed il terzo 

 al quarto, il primo e l'ultimo di questi fasci sono tagliati dalla 

 retta intersezione dei loro piani secondo due punteggiate omo- 

 grafiche fra di loro, un punto unito delle quali è il vertice del 

 cono. Queste punteggiate hanno dunque ancora un altro punto 

 unito reale , che determina un quadrilatero soddisfacente alle 

 condizioni volute. 



Manifestamente la proposizione è pur vera nel caso in cui 

 la quadrica S è cilindrica. 



1 1. Sia M un punto arbitrario della conica (p. Poiché i quattro 

 punti A , A', A ", ed M non sono in uno stesso piano, ed esiste 

 un quadrilatero , i cui lati toccano S nei detti punti , i piani 

 AMA', AMA" sono (n° 6) reciproci fra di loro rispetto ad S. 

 Da ciò risulta che il cono di second'ordine, che ha il vertice in A 

 e per direttrice la (p , è il luogo delle intersezioni delle coppie 

 di piani reciproci rispetto ad S, i due elementi di ciascuna delle 

 quali passino l'uno per la retta A A', l'altro per la retta A A". 

 Medesimamente le coniche <p' e a" sono le intersezioni di S coi 

 due coni generati ciascuno da due coppie di fasci omografici di 

 piani aventi per assi le rette A'A", A'A pel primo di essi coni, 

 A "A, A'A' pel secondo, in ciascuna delle quali coppie di fasci 

 ogni elemento dell 'un fascio sia reciproco, rispetto ad S, dell'ele- 

 mento corrispondente dell'altro. 



Se dunque P sia un punto reale comune ai tre coni ora 

 nominati, i piani PA'A', PA'A, PAA' sono due a due re- 

 ciproci fra loro rispetto ad S, ossia questi piani sono tre facce 



