200 M. C. LE PA1G1 



Soit 



(x; ! n = .S(A/-B) + 2 x . C 1/ + (-Df+ e : 



Les covariants quartiques seront 



(C a — AE— BD)y*+ADy*+BB ; 



(C -AE-BD) x*+ A B x*+ D E . 



Ces covariants sont des carrés, si Fon a 



(C z - AE - BD) 2 - 4 ABDE = . 



Or, il est facile de voir que cette condition est vérifiée, la 

 forme biquadrique est égale à l'un des quatre produits suivants : 



(VÀ l r 2 / + )/Bj; + V / Ói/ + )/E) (\flxy - j/B#- ^By + ^1) ; 



(\/I yy +\/Bx-\/ : Dy + )/E) lYk*y-YB'x + yfÌji + Y5) : 



(\/Lxy + \/B x +\/D y - yù) {Ykxy-^x - j/D y - j/É) ; 



(j/A x y + j/B a: - |/5 y — )/E ) ( j/Ta; y - )/B x + j/5 y - ^E) . 



Par suite, dans le cas actuel, si les covariants hj , M* 

 N £ 4 , P„ 4 sont des carrés les covariants (x z , if) ; {x 1 , z 1 ) etc. sont 

 décomposables en facteurs bilinéaires. Or. il est aisé de voir. que 

 si f peut étre ramenée à la forme 



ax,y t t u, + bx 2 y^u z , 



chacun de ces covariants est décomposable en facteurs linéaires. 



Gomme exemple de la représentation d'une forme quadrili- 

 néaire à covariants quartiques carrés , nous prefndrons la figure 

 fondamentale du troisième rang (Grundgebilde drifter Stufe). 

 formée par tous les plans de l'espace. 



Soient quatre droites X , Y , Z , U , non situées deux à deux 

 dans le mème pian. Les plans de l'espace marqueront sur ces 

 quatre droites des groupes de points £ , r, , 'C, v , déterminés par 

 trois d'entre eux. 



Sur X, prenons un point |, ; tous les plans passant par |,, 

 marquent sur Y , Z , U , une homographie H 2 \ 



Prenons un point c 2 ; nous aurons de mème une H' z \ 



Ces deux honiograpliies ont des groupes communs qui appai- 

 tiennent à un H, 3 . 



