20(3 M. C. LE PAIGE 



Ces covariants sont assez importants au point de vue géo- 

 métrique. 



Nous avons va plus liaut que dans ebaque sèrie, il existe. 

 en general, quatre points de ramification. 



A ces points correspondent des points doubles qui sont re- 

 présentés par les équations 



L^ = 0, M'/ = 0, N'.* = 0, PV = 0, etc. 



Pour le faire voir, il suffira de démontrer le théorème ana- 

 logue pour la forme biquadrique. 



Supposons encore que cette dernière ait été mise sous la 

 forme réduite 



a x \' *= x* (A//, 2 — B y*) + 2x t x x Cy t y 2 + x,\—D y*-\- E y") . 



Son covariant quartique par rapport aux x deviente 



ABa^ + IC*— AE — BD^.V+DE^ .. . (1). 



En éliminant x l , x x entre ces deux formes, on trouve, comme . 

 expression du résultant : 



(2)- 



AC a D^ + BC 2 2^ 



+ (AEC 2 +BDC 2 -A 2 E 2 -B 2 D 2 +2ABDE)v/, 2 y 



Or 



(a a) {a a) a x <x x a y 'a y ' = x, 2 [AC #, 2 + B C y* ) 



+ 2x t x z [kE-BV]yy+x;[DCy;+KCy:] . 



Le covariant quartique de cette forme, par rapport aux y , 

 est bien l'expression que nous venons de rencontrer. 

 Nous aurons aussi le covariant 



AD^+(C a -AE-BD)^V+BEy a < ..-(3). 



Formons son bessien: 



H X <=2AD(C 1 -AE-BD)*/,' 1 ì fAX 



+[l2ABDE-(C 2 -AE-BD) 2 ]i/,V+2BE(C 2 -AE-BD^)V 



La forme a x *a' y 2 possedè, cornine Clebsch l'a fait voir, un 

 invariant (a a) 2 (a a') 1 . 



