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« 11 rapporto anarmonico dei due elementi eli diramazione, 

 e di due elementi qualunque è uguale al quadrato di quello dei 

 due elementi corrispondenti a questi ultimi e dei due elementi 

 doppi » ( * ) . 



Siano d , è; e, è altre coppie di elementi corrispondenti. 

 Si avrà (afiyà) = (abcd)' 2 , (a^ys) = (abce) 2 , donde 



/ 7 ^ c g\- = I 1 .^'( a&ce )' ] [(abcd ) ì - (abcx) ì ] 

 W C?; [l-{abcxf][{abcd) ì -{abce) ì \' 



Siano ora y, o, s. i punti uniti, e quindi coincidenti con 

 e , il , e , e chiamiamoli £> , # , r . Si avrà 



( essendo àb.cd + bc .ad + ca. bd = 0) 



(P <1 r I 



pr.qx bp.ar-\-ap .br bq.a x + aq.bx 

 qr.px bq.ar + aq.br ' bp ,ax-\-ap .bx 



e dividendo numeratore e denominatore per 



bp .arxbq . ax = bq. arxbp . ax 



1 + (abpr) 1+ (abqx) 



avremo 



(pqr^) = (pqrx) 



\-\-{abqr) ' l-\-(abpx) 



3) Costruzione della corrispondenza [1, 2]. 



Si sa che se ed sono due fasci di raggi nella corri- 

 spondenza [1, 2], il luogo dei punti d'intersezione dei raggi cor- 

 rispondenti, è una curva di 3° ordine con punto doppio in e 

 con punto semplice in Q. Stanno collegati colla cubica in tal 

 modo generata, i 3 punti di flesso, le tangenti nel punto doppio, ecc.; 

 ma questi elementi non dipendono dalla natura della corrispon- 

 denza [1, 2] colla quale sono solamente collegati gli elementi di 

 diramazione e gli elementi doppi, e che non ha altra proprietà 

 invariantiva che l'essere tali elementi reali od immaginarli : quelli 

 invece dipendono unicamente dalla reciproca posizione dei due 

 fasci. Quindi se gli elementi doppi sono reali, comunque dispo- 



(*) CtV. Weyr, Beitràge sur Curvenlehre. 



