BULLE CORRISPONDENZE (1,2) E (1,3) 291 



oìamo i due fasci nel piano, il punto il si troverà Bempre Bulla 

 campana ('). altrimenti bì troverà Bulla foglia. 



Se poi i due fasci ili raggi hanno due raggi corrispondenti 

 comuni, la cubica si decompone nel raggio comune OQ, ed in 



una conica passante per e non passante per il. Donde BÌ vede 



come si possa costrniTc la, corrispondenza [1, 2] data da 5 coppie 

 di elementi corrispondenti, proiettando i fasci in modo che due 

 elementi corrispondenti vengano a coincidile. Tale costruzione ci 

 permette di costruire una cubica con (muto doppio, dato questo e 

 iì altri punti. 



Si osservi clic si può proiettare la figura in modo che la 

 conica diventi un cerchio e che, se Q era interno alla conica , 

 ne diventi il centro (se iì è esterno, la trasformazione è imma- 

 ginaria). Dunque i due fasci si posson proiettare in modo che 

 l'angolo fatto da due raggi qualunque del primo fascio sia la 

 metà dell'angolo formato dai due corrispondenti. 



Per tale corrispondenza però , daremo una costruzione spe- 

 ciale applicabile a due punteggiate sovrapposte. Descrivansi i 

 cerchi aventi i centri sulla retta data R, e passanti per le coppie 

 di punti della involuzione. Questi cerchi formano un fascio avente 

 i punti fondamentali reali , se i punti doppi della involuzione 

 sono immaginarli, e precisamente i due punti fondamentali sono 

 quelli, da cui si veggono le coppie della involuzione sotto angolo 

 retto ; essi sono poi immaginarli , se i punti doppi sono reali. 

 Ad ogni punto £ corrisponde un cerchio ed un centro C , ad 

 ogni centro un cerchio ed un punto e ; quindi esiste omografia 

 fra gli elementi f ed i centri dei cerchi corrispondenti. Costrutta 

 tale omografia è costrutta la corrispondenza [1, 2]. 



Caso particolare di questa è il sistema polare di una cubica 

 binaria. Si proietti la figura in modo da mandare ali 'co uno dei 

 3 punti dati, sicché i punti radici della cubica siano A, B, co. 

 Centro in i e B , e con raggi uguali ad A B descrivo due 

 cerchi che s'incontrino in J, /', punti fondamentali del fascio 

 di cerchi dell'involuzione. Dato un punto qualunque P, per de- 

 terminarne il 1° sistema polare, si prenda OP'=PO (essendo 

 AO = OB) e col centro P' si costruiscali cerchio del fascio. 



(*) Newton , Theoria curvarurn tertii ordinis. 



